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- タイトル
数理経済学的特別計画
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- 日本の金融経済教育推進のため、当ブログでは金融と経済の基礎から応用まで、分かりやすく深く掘り下げて解説しています。金融経済の世界を共に学び、より賢い決断を下すための一助としてご活用ください。
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記事一覧
再読込
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- ベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと1選
- この記事ではベイズの定理において事後分布がガンマ分布っぽいなと思った時にやるべきこと(?)を解説します。 ベイズの定理 \begin{align*} P(\theta \mid G) \propto P(G \mid \theta ) P(\theta) \end{align*}…
数理経済学的特別計画 -
- 確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説
- この記事では確率変数の二乗の期待値を生存関数から計算する方法を解説します。 確率変数\(X\)の生存関数は \begin{align*} S(x ) = P(X \geq x )\end{align*} により定義されます。 今回は、\(X\)が非負確率変数の場合を考えます。 \…
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- Bühlmann信頼度をLMMSE推定量の観点から理解する
- この記事では、Bühlmann信頼度をLMMSEの観点から理解します。 LMMSEはLeast Minimum Mean Square Errorです。 次のような状況を考えます。ナイーブな書き方をしているので、読みながら適宜厳密化してください。 今手元にデータ\(Y\)が1つあ…
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- 超指数分布のベイズ更新のやり方をわかりやすく解説！！
- 超指数分布のベイズ更新のやり方を解説します。 超指数分布Hyperexponential distributionは、名前はまあサイヤ人みたいに強そうですが、定義はというと、単に指数分布の有限個の凸結合です。 パラメータを$\theta_1, \ldots, \theta_k >…
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- 推定量の一致性は「平均二乗誤差が収束するなら確率収束する」で確認した方が楽な時がある
- 推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。 そこで、平均二乗誤差が\(0\)に収束することで一致性を確かめることにしましょう。 よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。 というのも、チェビシェフの不等式から \begin{align*} E\left(| X – …
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- 2つの独立なポアソン過程の競争問題をわかりやすく解説
- 2つの独立なポアソン過程の競争問題について解説します。 2つの独立なポアソン過程\(\{A_t \}_t, \{B_t \}_t\)で強度がそれぞれ\(\lambda_a, \lambda_b\)であるものが存在するとします。前者のイベントを\(A\)と呼ぶことにし、後者を\(B…
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- 再保険関数空間上の最適化問題が2パラメータの最適化問題に退化する状況を解説
- mathcal{F}\)を再保険関数全体の集合 \begin{align*}\mathcal{F} := \left\{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \mid f \text{ is increasing and convex},\\0 \…
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- 幾何分布の最尤推定量の導出をわかりやすく解説
- 幾何分布\(Geom(p)\)のパラメータ\(p\)の最尤推定量(MLE)を\(\hat p\)で表記することにすると、 \begin{align*} \hat p = \frac{1}{\bar x + 1} \end{align*} です。この記事ではそのことを解説します。 …
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- マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法
- マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が\(k\)個存在する状況を考えます。 状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。 各状態\(i\)のコストを\(c_i \)…
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- マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法
- マルコフ連鎖を用いて状態遷移を考慮した期待割引現在価値の導出方法を考えまーす。 離散的な状態が\(k\)個存在する状況を考えます。 状態間の遷移は、遷移確率行列が \begin{align} P \end{align} に従うとします。 各状態\(i\)のコストを\(c_i \)…
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- ポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説！！
- この記事ではポアソン分布の希薄化(Thinning)をわかりやすく解説します。 ポアソン分布の希薄化とは、 二項分布とポアソン分布を混合し、二項分布の試行回数のパラメータをポアソン分布に従うように設定することです。 命題：ポアソン分布の希薄化 確率変数\(N\)はポアソン分布に従…
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- ラデマッハ確率変数の定義・期待値・分散の導出をわかりやすく解説
- この記事では、確率論や機械学習でしばしば登場するラデマッハ確率変数 (Rademacher Random Variable) の定義を確認します。 定義：ラデマッハ確率変数 確率変数\(X\)は \begin{align*} P(X = -1) = \frac{1}{2}, \q…
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- 補対数対数リンク関数の逆関数の導出
- この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。 対数を2回書いているのは誤植ではないです。 complementary log-log link functionです。 \begin{align} g(x) = \log{\left(-\log(1-x) \right)}\…
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- 対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説
- この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*} とします。サンプルの平均を\(m\)とし、分散を\(s^2\)とします。 モーメント法による\(…
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- 正規分布のtail boundをわかりやすく解説
- この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。 \begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*} とします。 \begin{align*} S(x) = P(X > x)\end{align*} を評価します。 \begin{ali…
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- 一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説
- この記事では、一元配置分散分析(one-way ANOVA)をわかりやすく解説します。 適当にネットで調べてもあまりしっくりくる説明がなかったので、自分用の備忘録も兼ねています。 前提知識としては、重回帰分析の線形代数による記述スタイルを掴んでいたらよいと思います。 経済学専門の…
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- 累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解に書き直せることを解説
- この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。 12種類あるBurr型の分布は、 \begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 – F(x))g(x, F(x))\end{align*} というロ…
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- 順序統計量の最大値と最小値の累積分布関数の導出をわかりやすく解説！！
- この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。 まず順序統計量の最大値と最小値というのは、 確率変数 \begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align*} があった時に、それぞれ \begin{align*…
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- 線形回帰モデルの残差の分散共分散行列と単一データの残差の分線を導出する方法をわかりやすく解説
- この記事では線形回帰モデルの残差の分散共分散行列を導出・証明する方法をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\end{align*…
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- 線形回帰モデルのCase-Deletion公式の導出や証明をわかりやすく解説！！
- この記事ではCase-Deletion公式をわかりやすく解説します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*} という線形回帰モデルを考えます。 ここで、行列\(A\)に対して、\(i\)行目を削除(0にするのではな…
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- Sherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説
- この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。 定理：Sherman-Morrison-Woodburyの公式 \(A\)を\(n\times n\)の正則行列、\(U\)を\(n\times k\)、\(C\)を\(…
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- 統計学の回帰分析におけるレバレッジの定義や性質をわかりやすく解説
- この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。 誤差項のある線形回帰モデル \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align*} を考えます。 ハット行列を \begin{align…
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- 擬似逆行列により定義したハット行列は適切に直交射影であることを解説
- この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説 最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。 定義：擬似逆行列(Moore-Penrose逆行列, 一般化逆行列) \(A\)を\(n\times m\)(複素)行列とする。\(m\times n\)(…
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- 射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説
- この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。 有限次元ユークリッド空間\(\mathbb R^n\)上での話をします。 定義：射影行列 行列 \begin{align*} P: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n\end…
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- 線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明！！！
- この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I) \end{ali…
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- 多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式がカイ二乗分布に従うことの証明
- この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。 命題 \(x\)を\(n\)次元多変量標準正規分布 \begin{align*} x \sim N (0, I)\end{…
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- 多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることの証明！！！
- この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 \(x\)を\(n\)次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、 \begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*} とします。 \begin…
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- 線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明
- この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。 全要素が1のベクトルを \begin{align*} e = (1, 1, \ldots, 1 )^t \in \mathbb R^n\end{align*} で表記します。線形…
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- 指数分布の順序統計量の期待値の導出をわかりやすく解説！！
- この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。 \begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*} とします。\(X_1, X_2, \…
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- 線形回帰モデルの残差平方和RSSの期待値を導出する方法をわかりやすく解説！！
- この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。 まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。 線形回帰モデル \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*} を考えます。ただし\(\var…
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