こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．
本動画の内容をまとめた略解スライド版が『数学日誌 in note』からお求めになれます．今回限りのご購入は１回100円，１か月分の継続講読は月1000円でございます．毎週４回以上更新いたしますので，ご興味のある方には継続講読を強くお勧めいたします．お代は龍孫江の数学活動の足しにいたします．どうぞ応援の意味も含め，ご購読をお願いします．
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[問題] $p$ を素数，$G$ を $p$ 群とする．以下を証明せよ．それでは，動画をお楽しみください．
(1) $G$ が有限集合 $X$ に作用するとき，\[ \sharp X \equiv \sharp X^G~~\pmod{p},\] ここで $X^G := \{ x \in X \mid g \cdot x = x~(\forall g \in G) \}$．
(2) $G$ の中心 $Z_G$ は単位群ではない．
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