こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成３０年度東大大学院工学系研究科入試問題のつづきです。
問題は、
「ｎ人の子供が一列に並んでいる。あなたはｍ個のアメ玉を持っており、列の１番目の子供から順に１個か２個を配布していく。列の最後までアメ玉を配り終えるか、アメ玉が無くなった時点で配布を終了する。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、ｎ、ｍは正の整数とする。
Ⅰ．ｎ＝ｍ＝４のとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。
Ⅱ．ｍ≧２ｎのとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。
Ⅲ．ｎ≧ｍのとき、ｍ個のアメ玉の配り方の場合の数を Ｘm とする。 Ｘm が満たす漸化式を求めよ。
Ⅳ．問Ⅲの漸化式から Ｘm を求めよ。
Ⅴ．アメ玉の数よりも子供の人数の方が多い状況を考える。全ての配り方のうち、最後にアメ玉を２個配って終了する配り方の割合をＰ（ｍ）とする。このとき、ｍを大きくしていくとＰ（ｍ）はある値に収束する。その値を求めよ。
Ⅵ．ｍ≧２ｎの状況を考える。アメ玉の配布において、次のルールを加える。列の１番目の子供は、確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が１個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が２個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率３/４で１個のアメ玉、確率１/４で２個のアメ玉をもらう。列のｎ番目の子供が２個のアメ玉をもらう確率を求めよ。」
です。
今回はⅤです。
アメ玉の数よりも子供の人数のほうが多い（ｎ＞ｍ）状況なので、Ⅳで求めた漸化式
が成り立ち、すると、ｍ個のアメ玉の配り方は Ｘm （通り）、最後にアメ玉を２個配って終了する配り方は Ｘm-2 （通り）になることから
です。
ここで計算を簡単にするため、
とし、（４）から Ｘm 、Ｘm-2 を求めると、
です。
これらを（５）に代入・整理すると、
です。
このとき（６）と（７）から
なので、ｍ→∞のとき、
です。
さらに、（６）から
なので、ｍ→∞のとき、
になります。
したがって、ｍを大きくしていったときにＰ（ｍ）が収束する値は、
で、これが答えです。
次回は最後のⅥです。
今回は、平成３０年度東大大学院工学系研究科入試問題のつづきです。
問題は、
「ｎ人の子供が一列に並んでいる。あなたはｍ個のアメ玉を持っており、列の１番目の子供から順に１個か２個を配布していく。列の最後までアメ玉を配り終えるか、アメ玉が無くなった時点で配布を終了する。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、ｎ、ｍは正の整数とする。
Ⅰ．ｎ＝ｍ＝４のとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。
Ⅱ．ｍ≧２ｎのとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。
Ⅲ．ｎ≧ｍのとき、ｍ個のアメ玉の配り方の場合の数を Ｘm とする。 Ｘm が満たす漸化式を求めよ。
Ⅳ．問Ⅲの漸化式から Ｘm を求めよ。
Ⅴ．アメ玉の数よりも子供の人数の方が多い状況を考える。全ての配り方のうち、最後にアメ玉を２個配って終了する配り方の割合をＰ（ｍ）とする。このとき、ｍを大きくしていくとＰ（ｍ）はある値に収束する。その値を求めよ。
Ⅵ．ｍ≧２ｎの状況を考える。アメ玉の配布において、次のルールを加える。列の１番目の子供は、確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が１個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が２個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率３/４で１個のアメ玉、確率１/４で２個のアメ玉をもらう。列のｎ番目の子供が２個のアメ玉をもらう確率を求めよ。」
です。
今回はⅤです。
アメ玉の数よりも子供の人数のほうが多い（ｎ＞ｍ）状況なので、Ⅳで求めた漸化式
が成り立ち、すると、ｍ個のアメ玉の配り方は Ｘm （通り）、最後にアメ玉を２個配って終了する配り方は Ｘm-2 （通り）になることから
です。
ここで計算を簡単にするため、
とし、（４）から Ｘm 、Ｘm-2 を求めると、
です。
これらを（５）に代入・整理すると、
です。
このとき（６）と（７）から
なので、ｍ→∞のとき、
です。
さらに、（６）から
なので、ｍ→∞のとき、
になります。
したがって、ｍを大きくしていったときにＰ（ｍ）が収束する値は、
で、これが答えです。
次回は最後のⅥです。
