こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度筑波大附属駒場高入試問題です。
問題は、
「４桁の正の整数があります。この整数に以下の操作を行い、５桁の整数にすることを考えます。
捜査
① ４桁の整数を７で割った余りを求める。
② ７から①で求めた余りを引く。
③ もとの４桁の整数の末尾に②の結果を書き加え、５桁の整数にする。
この操作でできた５桁の整数を《コード》と呼ぶことにします。
例えば、１０００を７で割った余りは６なので、末尾に１を書き加え、１０００の《コード》は１０００１です。
また、１００１を７で割った余りは０なので、末尾に７を書き加え、１００１の《コード》は１００１７です。
次の問いに答えなさい。
（１） ２０２０の《コード》を求めなさい。
（２） ８５２１４は《コード》ではありませんが、５桁のうち１桁だけを別の数字に直すことで、《コード》にできます。このように直して得られる《コード》として、考えられるものは全部で何個ありますか。
（３） ４桁の正の整数は９０００個あります。これらの整数の《コード》９０００個のうち、《コード》を９で割った余りがａであるものの個数をＮ（ａ）とします。なお、ａ＝０、１、２、・・・、８です。
Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値と、そのときのＮ（ａ）の値を求めなさい。」
です。
２０２０÷７＝２８８・・・４
から、元の数（２０２０）の末尾に書き加える数は、
７－４＝３
なので、（１）の答えは、 ２０２０３ です。
次に（２）です。
４桁の整数
Ｎ＝１０００ｘ＋１００ｙ＋１０ｚ＋ｗ
を変形して、
Ｎ＝（７×１４２＋６）ｘ＋（７×１４＋２）ｙ＋（７×１＋３）ｚ＋ｗ
＝７（１４２ｘ＋１４ｙ＋ｚ）＋６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ
とすると、Ｎを７で割った余りは、６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ を７で割った余りと等しくなることが判ります。
これを利用して、８５２１４を調べていきましょう。
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１の場合
８５２１を７で割った余りは、６×８＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りで、６＋３＋６＋１→２になり、８５２１の末尾に７－２＝５を書き加えた数が、《コード》になります。（１個）
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３×２＋ｗを７で割った余りは、６＋３＋６＋（ｗを７で割った余り）→１＋（ｗを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（ｗを７で割った余り）が２になります。
したがって、ｗ＝２、９のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３ｚ＋１を７で割った余りは、６＋３＋（３ｚを７で割った余り）＋１→３＋（３ｚを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（３ｚを７で割った余り）が０になります。
したがって、ｚ＝０，７のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｘ＝８、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２ｙ＋３×２＋１を７で割った余りは、６＋（２ｙを７で割った余り）＋６＋１→６＋（２ｙを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（２ｙを７で割った余り）が４になります。
したがって、ｙ＝２，９のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６ｘ＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りは、（６ｘを７で割った余り）＋３＋６＋１→３＋（６ｘを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（６ｘを７で割った余り）が０になります。
したがって、ｘ＝０、７のとき、それらは《コード》になりますが、ｘ≠０から、ｘ＝７です。（１個）
以上から、８５２１４の５桁のうち１桁を直して《コード》にできるものの個数は、１＋２＋２＋２＋１＝ ８（個） で、これが答えです。
最後の（３）です。
１０００から９９９９までの４桁の整数をＭ、Ｍを７で割った余りを７から引いたものをｒとすると、《Ｍ》＝１０Ｍ＋ｒになります。
ここで、１０Ｍ＝９Ｍ＋Ｍから、１０Ｍを９で割った余りは、Ｍを９で割った余りｓと等しくなり、したがって、《Ｍ》を９で割った余りは、ｒ＋ｓを９で割った余りと等しくなります。
このとき、Ｍを７で割った余りは、１０００から９９９９まで順に
６、０、・・・、６、０、１、２、・・・、２、３
と循環することから、ｒは、
１、７、・・・、１、７、６、５、・・・、５、４
と循環し、ｓは、１０００から９９９９まで順に、
１、２、・・・、８、０、１、２、・・・、８、０
と循環します。
そこで、Ｍが、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ と変わっていくときのｒとｓの関係を調べます。
Mのｒが７とすると、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ に対して、ｒとｓはそれぞれ
ｒ：７→６→５→４→３→２→１
と
ｓ：０→１→２→３→４→５→６
１→２→３→４→５→６→７
２→３→４→５→６→７→８
３→４→５→６→７→８→０
４→５→６→７→８→０→１
５→６→７→８→０→１→２
６→７→８→０→１→２→３
７→８→０→１→２→３→４
８→０→１→２→３→４→５
になり、ｒが７→６→５→４→３→２→１と変わる間、ｒとｓの和を９で割った余りは、同じ値になることが判ります。（例えば、ｒ：７→６→５→４→３→２→１、 ｓ：０→１→２→３→４→５→６ のとき、ｒ＋ｓを９で割った余りは、 ７→７→７→７→７→７→７ になり、 ｓ：８→０→１→２→３→４→５ のとき、６→６→６→６→６→６→６ になります）
また、ｒとｓの周期はそれぞれ７と９なので、ｒとｓを合わせた周期は７×９＝６３になります。
それでは、ここから１０００から１０６２までの６３個の整数について、ａを具体的に調べていきましょう。
１０００÷７＝１４２・・・６ → ｒ＝１
１０００÷９＝１１１・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝２ → ａ＝２
です。
１００１÷７＝１４３・・・０ → ｒ＝７
１００１÷９＝１１１・・・２ → ｓ＝２
から
ｒ＋ｓ＝９ → ａ＝０
になり、１００１≦Ｍ≦１００７で、ａ＝０です。
１００８÷７＝１４４・・・０ → ｒ＝７
１００８÷９＝１１２・・・０ → ｓ＝０
から
ｒ＋ｓ＝７ → ａ＝７
になり、１００８≦Ｍ≦１０１４で、ａ＝７です。
１０１５÷７＝１４５・・・０ → ｒ＝７
１０１５÷９＝１１２・・・７ → ｓ＝７
から
ｒ＋ｓ＝１４ → ａ＝５
になり、１０１５≦Ｍ≦１０２１で、ａ＝５です。
１０２２÷７＝１４６・・・０ → ｒ＝７
１０２２÷９＝１１３・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０２２≦Ｍ≦１０２８で、ａ＝３です。
１０２９÷７＝１４７・・・０ → ｒ＝７
１０２９÷９＝１１４・・・３ → ｓ＝３
から
ｒ＋ｓ＝１０ → ａ＝１
になり、１０２９≦Ｍ≦１０３５で、ａ＝１です。
１０３６÷７＝１４８・・・０ → ｒ＝７
１０３６÷９＝１１５・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝８ → ａ＝８
になり、１０３６≦Ｍ≦１０４２で、ａ＝８です。
１０４３÷７＝１４９・・・０ → ｒ＝７
１０４３÷９＝１１６・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０４３≦Ｍ≦１０４９で、ａ＝３です。
１０５０÷７＝１５０・・・０ → ｒ＝７
１０５０÷９＝１１６・・・６ → ｓ＝６
から
ｒ＋ｓ＝１３ → ａ＝４
になり、１０５０≦Ｍ≦１０５６で、ａ＝４です。
１０５７÷７＝１５１・・・０ → ｒ＝７
１０５７÷９＝１１７・・・４ → ｓ＝４
から
ｒ＋ｓ＝１１ → ａ＝２
になり、１０５７≦Ｍ≦１０６３で、ａ＝２です。
以上から、１０００から１０６２までの６３個の整数に対して、ａは順に、
２ （１個）
０ （７個）
７ （７個）
５ （７個）
３ （７個）
１ （７個）
８ （７個）
６ （７個）
４ （７個）
２ （６個）
と出現することが判りました。
すると、
（９９９９－９９９）÷６３＝１４２・・・５４
から、１０００から９９９９の９０００個の整数のうち、
・ ａ＝２ になる整数の個数は、
７×１４２＋１＝９９５（個）
・ ａ＝０、７、５、３、１、８、６ になる整数の個数は、
７×１４３＝１００１（個）
・ ａ＝４ になる整数の個数は、
７×１４２＋４＝９９８（個）
になります。
以上から、Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値は ２ 、Ｎ（２）＝９９５ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度筑波大附属駒場高入試問題です。
問題は、
「４桁の正の整数があります。この整数に以下の操作を行い、５桁の整数にすることを考えます。
捜査
① ４桁の整数を７で割った余りを求める。
② ７から①で求めた余りを引く。
③ もとの４桁の整数の末尾に②の結果を書き加え、５桁の整数にする。
この操作でできた５桁の整数を《コード》と呼ぶことにします。
例えば、１０００を７で割った余りは６なので、末尾に１を書き加え、１０００の《コード》は１０００１です。
また、１００１を７で割った余りは０なので、末尾に７を書き加え、１００１の《コード》は１００１７です。
次の問いに答えなさい。
（１） ２０２０の《コード》を求めなさい。
（２） ８５２１４は《コード》ではありませんが、５桁のうち１桁だけを別の数字に直すことで、《コード》にできます。このように直して得られる《コード》として、考えられるものは全部で何個ありますか。
（３） ４桁の正の整数は９０００個あります。これらの整数の《コード》９０００個のうち、《コード》を９で割った余りがａであるものの個数をＮ（ａ）とします。なお、ａ＝０、１、２、・・・、８です。
Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値と、そのときのＮ（ａ）の値を求めなさい。」
です。
２０２０÷７＝２８８・・・４
から、元の数（２０２０）の末尾に書き加える数は、
７－４＝３
なので、（１）の答えは、 ２０２０３ です。
次に（２）です。
４桁の整数
Ｎ＝１０００ｘ＋１００ｙ＋１０ｚ＋ｗ
を変形して、
Ｎ＝（７×１４２＋６）ｘ＋（７×１４＋２）ｙ＋（７×１＋３）ｚ＋ｗ
＝７（１４２ｘ＋１４ｙ＋ｚ）＋６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ
とすると、Ｎを７で割った余りは、６ｘ＋２ｙ＋３ｚ＋ｗ を７で割った余りと等しくなることが判ります。
これを利用して、８５２１４を調べていきましょう。
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１の場合
８５２１を７で割った余りは、６×８＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りで、６＋３＋６＋１→２になり、８５２１の末尾に７－２＝５を書き加えた数が、《コード》になります。（１個）
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝２、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３×２＋ｗを７で割った余りは、６＋３＋６＋（ｗを７で割った余り）→１＋（ｗを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（ｗを７で割った余り）が２になります。
したがって、ｗ＝２、９のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｘ＝８、ｙ＝５、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２×５＋３ｚ＋１を７で割った余りは、６＋３＋（３ｚを７で割った余り）＋１→３＋（３ｚを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（３ｚを７で割った余り）が０になります。
したがって、ｚ＝０，７のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｘ＝８、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６×８＋２ｙ＋３×２＋１を７で割った余りは、６＋（２ｙを７で割った余り）＋６＋１→６＋（２ｙを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（２ｙを７で割った余り）が４になります。
したがって、ｙ＝２，９のとき、それらは《コード》になります。（２個）
● ｙ＝５、ｚ＝２、ｗ＝１、（末尾の数）＝４の場合
６ｘ＋２×５＋３×２＋１を７で割った余りは、（６ｘを７で割った余り）＋３＋６＋１→３＋（６ｘを７で割った余り）で、これが７－４＝３になるので、（６ｘを７で割った余り）が０になります。
したがって、ｘ＝０、７のとき、それらは《コード》になりますが、ｘ≠０から、ｘ＝７です。（１個）
以上から、８５２１４の５桁のうち１桁を直して《コード》にできるものの個数は、１＋２＋２＋２＋１＝ ８（個） で、これが答えです。
最後の（３）です。
１０００から９９９９までの４桁の整数をＭ、Ｍを７で割った余りを７から引いたものをｒとすると、《Ｍ》＝１０Ｍ＋ｒになります。
ここで、１０Ｍ＝９Ｍ＋Ｍから、１０Ｍを９で割った余りは、Ｍを９で割った余りｓと等しくなり、したがって、《Ｍ》を９で割った余りは、ｒ＋ｓを９で割った余りと等しくなります。
このとき、Ｍを７で割った余りは、１０００から９９９９まで順に
６、０、・・・、６、０、１、２、・・・、２、３
と循環することから、ｒは、
１、７、・・・、１、７、６、５、・・・、５、４
と循環し、ｓは、１０００から９９９９まで順に、
１、２、・・・、８、０、１、２、・・・、８、０
と循環します。
そこで、Ｍが、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ と変わっていくときのｒとｓの関係を調べます。
Mのｒが７とすると、Ｍ→Ｍ＋１→Ｍ＋２→Ｍ＋３→Ｍ＋４→Ｍ＋５→Ｍ＋６ に対して、ｒとｓはそれぞれ
ｒ：７→６→５→４→３→２→１
と
ｓ：０→１→２→３→４→５→６
１→２→３→４→５→６→７
２→３→４→５→６→７→８
３→４→５→６→７→８→０
４→５→６→７→８→０→１
５→６→７→８→０→１→２
６→７→８→０→１→２→３
７→８→０→１→２→３→４
８→０→１→２→３→４→５
になり、ｒが７→６→５→４→３→２→１と変わる間、ｒとｓの和を９で割った余りは、同じ値になることが判ります。（例えば、ｒ：７→６→５→４→３→２→１、 ｓ：０→１→２→３→４→５→６ のとき、ｒ＋ｓを９で割った余りは、 ７→７→７→７→７→７→７ になり、 ｓ：８→０→１→２→３→４→５ のとき、６→６→６→６→６→６→６ になります）
また、ｒとｓの周期はそれぞれ７と９なので、ｒとｓを合わせた周期は７×９＝６３になります。
それでは、ここから１０００から１０６２までの６３個の整数について、ａを具体的に調べていきましょう。
１０００÷７＝１４２・・・６ → ｒ＝１
１０００÷９＝１１１・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝２ → ａ＝２
です。
１００１÷７＝１４３・・・０ → ｒ＝７
１００１÷９＝１１１・・・２ → ｓ＝２
から
ｒ＋ｓ＝９ → ａ＝０
になり、１００１≦Ｍ≦１００７で、ａ＝０です。
１００８÷７＝１４４・・・０ → ｒ＝７
１００８÷９＝１１２・・・０ → ｓ＝０
から
ｒ＋ｓ＝７ → ａ＝７
になり、１００８≦Ｍ≦１０１４で、ａ＝７です。
１０１５÷７＝１４５・・・０ → ｒ＝７
１０１５÷９＝１１２・・・７ → ｓ＝７
から
ｒ＋ｓ＝１４ → ａ＝５
になり、１０１５≦Ｍ≦１０２１で、ａ＝５です。
１０２２÷７＝１４６・・・０ → ｒ＝７
１０２２÷９＝１１３・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０２２≦Ｍ≦１０２８で、ａ＝３です。
１０２９÷７＝１４７・・・０ → ｒ＝７
１０２９÷９＝１１４・・・３ → ｓ＝３
から
ｒ＋ｓ＝１０ → ａ＝１
になり、１０２９≦Ｍ≦１０３５で、ａ＝１です。
１０３６÷７＝１４８・・・０ → ｒ＝７
１０３６÷９＝１１５・・・１ → ｓ＝１
から
ｒ＋ｓ＝８ → ａ＝８
になり、１０３６≦Ｍ≦１０４２で、ａ＝８です。
１０４３÷７＝１４９・・・０ → ｒ＝７
１０４３÷９＝１１６・・・５ → ｓ＝５
から
ｒ＋ｓ＝１２ → ａ＝３
になり、１０４３≦Ｍ≦１０４９で、ａ＝３です。
１０５０÷７＝１５０・・・０ → ｒ＝７
１０５０÷９＝１１６・・・６ → ｓ＝６
から
ｒ＋ｓ＝１３ → ａ＝４
になり、１０５０≦Ｍ≦１０５６で、ａ＝４です。
１０５７÷７＝１５１・・・０ → ｒ＝７
１０５７÷９＝１１７・・・４ → ｓ＝４
から
ｒ＋ｓ＝１１ → ａ＝２
になり、１０５７≦Ｍ≦１０６３で、ａ＝２です。
以上から、１０００から１０６２までの６３個の整数に対して、ａは順に、
２ （１個）
０ （７個）
７ （７個）
５ （７個）
３ （７個）
１ （７個）
８ （７個）
６ （７個）
４ （７個）
２ （６個）
と出現することが判りました。
すると、
（９９９９－９９９）÷６３＝１４２・・・５４
から、１０００から９９９９の９０００個の整数のうち、
・ ａ＝２ になる整数の個数は、
７×１４２＋１＝９９５（個）
・ ａ＝０、７、５、３、１、８、６ になる整数の個数は、
７×１４３＝１００１（個）
・ ａ＝４ になる整数の個数は、
７×１４２＋４＝９９８（個）
になります。
以上から、Ｎ（ａ）が最も小さくなるａの値は ２ 、Ｎ（２）＝９９５ で、これが答えです。
簡単な問題です。
