東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院工学系研究科入試問題のつづきです。

問題は、
「ｎ人の子供が一列に並んでいる。あなたはｍ個のアメ玉を持っており、列の１番目の子供から順に１個か２個を配布していく。列の最後までアメ玉を配り終えるか、アメ玉が無くなった時点で配布を終了する。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、ｎ、ｍは正の整数とする。

Ⅰ．ｎ＝ｍ＝４のとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。

Ⅱ．ｍ≧２ｎのとき、アメ玉の配り方は何通りあるか。

Ⅲ．ｎ≧ｍのとき、ｍ個のアメ玉の配り方の場合の数を Ｘm とする。 Ｘm が満たす漸化式を求めよ。

Ⅳ．問Ⅲの漸化式から Ｘm を求めよ。

Ⅴ．アメ玉の数よりも子供の人数の方が多い状況を考える。全ての配り方のうち、最後にアメ玉を２個配って終了する配り方の割合をＰ（ｍ）とする。このとき、ｍを大きくしていくとＰ（ｍ）はある値に収束する。その値を求めよ。

Ⅵ．ｍ≧２ｎの状況を考える。アメ玉の配布において、次のルールを加える。列の１番目の子供は、確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が１個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率１/２で１個のアメ玉、確率１/２で２個のアメ玉をもらう。もし、ある子供が２個のアメ玉をもらった場合、その次の子供は確率３/４で１個のアメ玉、確率１/４で２個のアメ玉をもらう。列のｎ番目の子供が２個のアメ玉をもらう確率を求めよ。」
です。

今回はⅣです。

Ⅲの答えの漸化式は、
Ｘm＝Ｘm-1＋Ｘm-2　　　　　　　　　　　　　　（１）
で、この特性方程式

の解は、

です。

これから

になります。

ここで、（２）が（１）を満たすか調べておきましょう。

（１）の右辺に、（１）を代入すると、

になり、さらに

を使って整理すると、

で、（２）が（１）を満たすことが判りました。

次に（２）のｐとｑを求めるため、Ｘ1 と Ｘ2 の値を計算しましょう。

ｍ＝１のときのアメ玉の配り方は、１番目の子供にアメ玉１個を配るだけなので、Ｘ1＝１（通り）です。

ｍ＝２のときは、１、２番目の子供にそれぞれ１個のアメ玉を配る、または、１番目の子供に２個のアメ玉を配るのいずれかなので、Ｘ2＝２（通り）です。

これらから

が成り立ち、この連立方程式を解くと、

で、これらを（２）に代入すると、

になります。

ここで、

を使って（３）を整理すると、

で、これが答えです。


次回はⅤです。