東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、図形問題です。

問題は、
「下図のように、正方形ＡＢＣＤの辺ＡＤと辺ＣＤ上にそれぞれ点Ｐと点Ｑがあり、直線ＢＰは∠ＡＢＱの二等分線である。


また頂点Ｂを通り直線ＢＰと垂直に交わる直線と、直線ＣＤとの交点をＲとする。

ＢＱ＝５、ＣＱ＝２ のとき、△ＡＢＰと△ＢＱＲの面積比を求めよ。」
です。

まず図１のように、△ＡＢＰと△ＣＢＲに注目しましょう。


ここで、四角形ＡＢＣＤは正方形なので、
ＡＢ＝ＣＢ
∠ＢＡＰ＝∠ＢＣＲ
で、さらに、
∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＢＰ
　　　　＝９０°－∠ＣＢＰ
　　　　＝∠ＰＢＲ－∠ＣＢＰ
　　　　＝∠ＣＢＲ
です。

したがって、△ＡＢＰ≡△ＣＢＲになり、
∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＲ
が成り立ちます。

このとき、∠ＡＢＰ＝●とすると、
∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＱ＝∠ＣＢＲ＝●
です。

一方、ＡＢ//ＤＣで、平行線の錯角は等しいので、図２のように、
∠ＡＢＱ＝∠ＢＱＲ＝２●
で、さらに、
∠ＱＢＲ＝∠ＰＢＲ－∠ＰＢＱ
　　　　＝９０°－●
です。


ここで、△ＱＢＲの内角を考えると、
∠ＱＲＢ＝１８０°－∠ＢＱＲ－∠ＱＢＲ
　　　　＝１８０°－２●－（９０°－●）
　　　　＝９０°－●
になり、∠ＱＢＲ＝∠ＱＲＢです。

したがって、△ＱＢＲは二等辺三角形になり、図３のように、ＱＢ＝ＱＲ＝５、ＣＲ＝３になります。


最後に、
（△ＡＢＰの面積）：（△ＢＱＲの面積）＝（△ＢＣＲの面積）：（△ＢＱＲの面積）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＣＲ：ＱＲ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３：５
で、これが答えです。


簡単な問題です。