こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「ａ、ｂを正の整数とする。ａ以上ｂ以下の整数をすべて足すと２０２０であるような（ａ，ｂ）の組のうち、ａが最も小さいものを求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
ａ以上ｂ以下の整数の和をＳとすると、
Ｓ＝ａ＋（ａ＋１）＋・・・＋（ｂ－１）＋ｂ
で、この足す順番を逆にすると、
Ｓ＝ｂ＋（ｂ－１）＋・・・＋（ａ－１）＋ａ
になります。
そこで、これらの２つの式の辺々を足し合わせると、（左辺）＝２Ｓになります。
一方、右辺は、その第１項目、第２項目、・・・の和はいずれもａ＋ｂで、それらの項数はｂ－ａ＋１（個）なので、
になり、したがって、
が成り立ちます。
このとき、Ｓ＝２０２０から、ａとｂの組は、
を満たすことになります。
ここで、ａ＋ｂとｂ－ａ＋１の大小を調べると、
ａ＋ｂ－（ｂ－ａ＋１）＝２ａ－１＞０
から、
ａ＋ｂ＞ｂ－ａ＋１
で、したがって、（★）を満たすａ＋ｂとｂ－ａ＋１の組[ａ＋ｂ，ｂ－ａ＋１]は、
[４０４０，１]、[２０２０，２]、[１０１０，４]、
[８０８，５]、[５０５，８]、[４０４，１０]、
[２０２，２０]、[１０１，４０]
で、これから、（★）を満たすａ＋ｂとｂ－ａの組〈ａ＋ｂ，ｂ－ａ〉は、
〈４０４０，０〉、〈２０２０，１〉、〈１０１０，３〉、
〈８０８，４〉、〈５０５，７〉、〈４０４，９〉、
〈２０２，１９〉、〈１０１，３９〉
になります。
また、ａとｂが整数のとき、ａ＋ｂとｂ－ａの偶奇は一致するので、上記の組〈ａ＋ｂ，ｂ－ａ〉のうち、ａとｂがともに整数になるものは、
〈４０４０，０〉、〈８０８，４〉、〈５０５，７〉、〈１０１，３９〉
になります。
このとき、ａ＋ｂ－（ｂ－ａ）＝２ａから、ａが最小になるのは、〈Ｘ，Ｙ〉でＸ－Ｙが最小になるときで、それは、〈１０１，３９〉の場合です。
以上から、
で、 （３１．７０） が答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０２０年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。
問題は、
「ａ、ｂを正の整数とする。ａ以上ｂ以下の整数をすべて足すと２０２０であるような（ａ，ｂ）の組のうち、ａが最も小さいものを求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
ａ以上ｂ以下の整数の和をＳとすると、
Ｓ＝ａ＋（ａ＋１）＋・・・＋（ｂ－１）＋ｂ
で、この足す順番を逆にすると、
Ｓ＝ｂ＋（ｂ－１）＋・・・＋（ａ－１）＋ａ
になります。
そこで、これらの２つの式の辺々を足し合わせると、（左辺）＝２Ｓになります。
一方、右辺は、その第１項目、第２項目、・・・の和はいずれもａ＋ｂで、それらの項数はｂ－ａ＋１（個）なので、
になり、したがって、
が成り立ちます。
このとき、Ｓ＝２０２０から、ａとｂの組は、
を満たすことになります。
ここで、ａ＋ｂとｂ－ａ＋１の大小を調べると、
ａ＋ｂ－（ｂ－ａ＋１）＝２ａ－１＞０
から、
ａ＋ｂ＞ｂ－ａ＋１
で、したがって、（★）を満たすａ＋ｂとｂ－ａ＋１の組[ａ＋ｂ，ｂ－ａ＋１]は、
[４０４０，１]、[２０２０，２]、[１０１０，４]、
[８０８，５]、[５０５，８]、[４０４，１０]、
[２０２，２０]、[１０１，４０]
で、これから、（★）を満たすａ＋ｂとｂ－ａの組〈ａ＋ｂ，ｂ－ａ〉は、
〈４０４０，０〉、〈２０２０，１〉、〈１０１０，３〉、
〈８０８，４〉、〈５０５，７〉、〈４０４，９〉、
〈２０２，１９〉、〈１０１，３９〉
になります。
また、ａとｂが整数のとき、ａ＋ｂとｂ－ａの偶奇は一致するので、上記の組〈ａ＋ｂ，ｂ－ａ〉のうち、ａとｂがともに整数になるものは、
〈４０４０，０〉、〈８０８，４〉、〈５０５，７〉、〈１０１，３９〉
になります。
このとき、ａ＋ｂ－（ｂ－ａ）＝２ａから、ａが最小になるのは、〈Ｘ，Ｙ〉でＸ－Ｙが最小になるときで、それは、〈１０１，３９〉の場合です。
以上から、
で、 （３１．７０） が答えです。
簡単な問題です。
