東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１７年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「ＡＢ＝８２、ＡＤ＝４２の長方形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤの中点をＭ、ＡＢを１：２に内分する点をＮ、直線ＣＭと直線ＤＮの交点をＯとする。線分ＣＭ上の点をＰとし、四角形ＢＣＯＮの面積が直線ＢＰで二等分されるとき、△ＰＣＤの面積を求めよ。」
です。

問題の図を描くと図１のようになります。


ここは、
　四角形ＢＣＯＮの面積
→△ＰＢＣの面積
→底辺をＢＣとしたときの△ＰＢＣの高さ
→底辺をＣＤとしたときの△ＰＣＤの高さ
→△ＰＣＤの面積
という段取りで進めればよさそうです。

まず図２のように、点ＮからＡＤに平行な直線を引き、直線ＣＭとの交点をＱとします。


このとき、

です。

また、△ＯＤＭ∽△ＯＮＱ（∠ＤＯＭ＝∠ＮＯＱ：対頂角、∠ＯＤＭ＝∠ＯＮＱ：ＤＭ//ＱＮで錯角）で、その相似比は ２１：２８＝３：４ です。

ここで図３のように、ＡＤに垂直で点Ｏを通る直線ＴＵを引くと、∠ＴＵＮ＝９０°で、さらに、
ＯＴ：ＯＵ＝ＡＮ－ＯＵ：ＯＵ
　　　　　＝２８－ＯＵ：ＯＵ
　　　　　＝３：４
から、
４×２８－４ＯＵ＝３ＯＵ
７ＯＵ＝４×２８
ＯＵ＝１６
です。

したがって、
（△ＯＮＱの面積）＝ＮＱ×ＯＵ÷２＝２８×１６÷２＝２２４
になります。



また、
（台形ＢＣＱＮの面積）＝（ＢＣ＋ＮＱ）×ＢＮ÷２
　　　　　　　　　　　＝（４２＋２８）×５６÷２
　　　　　　　　　　　＝１９６０
です。

ここで、
（四角形ＢＣＯＮの面積）＝（△ＯＮＱの面積）＋（台形ＢＣＱＮの面積）
　　　　　　　　　　　　＝２２４＋１９６０
　　　　　　　　　　　　＝２１８４
で、さらに△ＰＢＣの面積は四角形ＢＣＯＮの面積の１/２であることから
（△ＰＢＣの面積）＝２１８４÷２
　　　　　　　　　＝１０９２
になります。

続いて図４のように、点ＰからＢＣに下ろした垂線の足をＶとすると、
ＰＶ＝１０９２÷４２×２＝５２
で、さらに点ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＷとすると、

になり、これでで△ＰＣＤの底辺（ＣＤ）の長さと高さ（ＰＷ）を求めることができました。


以上から
（△ＰＣＤの面積）＝ＣＤ×ＰＷ÷２
　　　　　　　　　＝８４×１３÷２
　　　　　　　　　＝ ５４６
で、これが答えです。


簡単な問題です。