こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２０１５年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「正の整数において、ｎの各桁の数の和をｓ（ｎ）とする。
ｓ（ｎ）＝ｓ（ｎ＋８６４）＝２０
を満たす最小のｎを求めよ。」
です。
ｎが２桁の整数の場合、ｓ（ｎ）≦１８（等号はｎ＝９９のとき成立）なので、ｎは３桁以上の整数になります。
そこで、
ｎ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ （１）
として、条件を満たすｎが存在するか調べていきます。このとき、ａ、ｂ、ｃは，
１≦ａ≦９
０≦ｂ，ｃ≦９ （２）
の整数です。
ここで（１）から、
ｓ（ｎ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＝２０
で、これから、
ａ＝２０－ｂ－ｃ≧２０－９－９＝２
ｂ＝２０－ｃ－ａ≧２０－９－９＝２
ｃ＝２０－ａ－ｂ≧２０－９－９＝２
になり、これらと（２）から、
２≦ａ，ｂ，ｃ≦９ （３）
と、ａ、ｂ、ｃの範囲が判りました。
続いて（１）から、
ｎ＋８６４＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＋８００＋６０＋４
＝１００（ａ＋８）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４） （４）
で、ここから、右辺の各桁の繰り上がりの有無を調べていきます。
① 下３桁目（百の位）
（３）から、
１０≦ａ＋８≦１７
なので、下３桁目は必ず繰り上がります。
したがって、
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４） （５）
になり、このとき、０≦ａ－２≦７ なので、下２桁目が繰り上がっても下３桁目は再度繰り上がることはありません。
② 下２桁目（十の位）
（３）から
８≦ｂ＋６≦１５
なので、
㋐ 下１桁目からの繰り上がりがない場合
８≦ｂ＋６≦９ → ２≦ｂ≦３ のとき ⇒ 繰り上がりなし
㋑ 下１桁目からの繰り上がりがある場合
８≦ｂ＋６≦８ → ｂ＝２ のとき ⇒ 繰り上がりなし
㋒１０≦ｂ＋６≦１５ → ４≦ｂ≦９ のとき ⇒ 繰り上がりあり
③ 下１桁目（一の位）
（３）から
６≦ｃ＋４≦１３
なので、
６≦ｃ＋４≦９ → ２≦ｃ≦５ のとき ⇒ 繰り上がりなし
１０≦ｃ＋４≦１３ → ６≦ｃ≦９ のとき ⇒ 繰り上がりあり
になり、①②③をまとめると、
〈１〉 ２≦ｂ≦３、２≦ｃ≦５ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりなし
下１桁目：繰り上がりなし
〈２〉ｂ＝２、６≦ｃ≦９ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりなし
下１桁目：繰り上がりあり
〈３〉 ｂ＝３、６≦ｃ≦９ または、４≦ｂ≦９、６≦ｃ≦９ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりあり
下１桁目：繰り上がりあり
〈４〉４≦ｂ≦９、２≦ｃ≦５ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりあり
下１桁目：繰り上がりなし
になります。
すると、〈１〉、〈２〉、〈３〉、〈４〉のそれぞれに対して、（５） と ｓ（ｎ＋８６４）は、
〈１〉 ２≦ａ≦９、２≦ｂ≦３、２≦ｃ≦５ の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－２＋ｂ＋６＋ｃ＋４
＝ａ＋ｂ＋ｃ＋９
＝２９
≠２０
になり、条件を満たすｎはありません。
〈２〉 ２≦ａ≦９、ｂ＝２、６≦ｃ≦９ の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋１０＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋７）＋（ｃ－６）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－２＋ｂ＋７＋ｃ－６
＝ａ＋ｂ＋ｃ
＝２０
になり、これは条件を満たします。
このとき、ｎが最小になるのは、ｂとｃがそれぞれ最大値（ｂ＝２、ｃ＝９）をとる場合で、これから、ａ＝２０－ｂ－ｃ＝９ になり、したがって、ｎの最小値は ９２９ です。
〈３〉 ２≦ａ≦９、ｂ＝３、６≦ｃ≦９
または、２≦ａ≦９、４≦ｂ≦９、６≦ｃ≦９の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋１０＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（３＋６＋１）＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１００＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－１）＋（ｃ－６）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－１＋ｃ－６
＝ａ＋ｃ－６
≦９＋９－６
＝１２
になり、条件を満たすｎはありません。
〈４〉 ２≦ａ≦９、４≦ｂ≦９、２≦ｃ≦５の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１００＋１０（ｂ－４）＋（ｃ＋４）
＝１０００＋１００（ａ－１）＋１０（ｂ－４）＋（ｃ＋４）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－１＋ｂ－４＋ｃ＋４
＝ａ＋ｂ＋ｃ
＝２０
になり、これは条件を満たします。
このとき、ｎが最小になるのは、ｂとｃがそれぞれ最大値（ｂ＝９、ｃ＝５）をとる場合で、これから、ａ＝２０－ｂ－ｃ＝６ になり、したがって、ｎの最小値は ６９５ です。
以上から、条件を満たすｎの最小値は ６９５ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２０１５年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「正の整数において、ｎの各桁の数の和をｓ（ｎ）とする。
ｓ（ｎ）＝ｓ（ｎ＋８６４）＝２０
を満たす最小のｎを求めよ。」
です。
ｎが２桁の整数の場合、ｓ（ｎ）≦１８（等号はｎ＝９９のとき成立）なので、ｎは３桁以上の整数になります。
そこで、
ｎ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ （１）
として、条件を満たすｎが存在するか調べていきます。このとき、ａ、ｂ、ｃは，
１≦ａ≦９
０≦ｂ，ｃ≦９ （２）
の整数です。
ここで（１）から、
ｓ（ｎ）＝ａ＋ｂ＋ｃ＝２０
で、これから、
ａ＝２０－ｂ－ｃ≧２０－９－９＝２
ｂ＝２０－ｃ－ａ≧２０－９－９＝２
ｃ＝２０－ａ－ｂ≧２０－９－９＝２
になり、これらと（２）から、
２≦ａ，ｂ，ｃ≦９ （３）
と、ａ、ｂ、ｃの範囲が判りました。
続いて（１）から、
ｎ＋８６４＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＋８００＋６０＋４
＝１００（ａ＋８）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４） （４）
で、ここから、右辺の各桁の繰り上がりの有無を調べていきます。
① 下３桁目（百の位）
（３）から、
１０≦ａ＋８≦１７
なので、下３桁目は必ず繰り上がります。
したがって、
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４） （５）
になり、このとき、０≦ａ－２≦７ なので、下２桁目が繰り上がっても下３桁目は再度繰り上がることはありません。
② 下２桁目（十の位）
（３）から
８≦ｂ＋６≦１５
なので、
㋐ 下１桁目からの繰り上がりがない場合
８≦ｂ＋６≦９ → ２≦ｂ≦３ のとき ⇒ 繰り上がりなし
㋑ 下１桁目からの繰り上がりがある場合
８≦ｂ＋６≦８ → ｂ＝２ のとき ⇒ 繰り上がりなし
㋒１０≦ｂ＋６≦１５ → ４≦ｂ≦９ のとき ⇒ 繰り上がりあり
③ 下１桁目（一の位）
（３）から
６≦ｃ＋４≦１３
なので、
６≦ｃ＋４≦９ → ２≦ｃ≦５ のとき ⇒ 繰り上がりなし
１０≦ｃ＋４≦１３ → ６≦ｃ≦９ のとき ⇒ 繰り上がりあり
になり、①②③をまとめると、
〈１〉 ２≦ｂ≦３、２≦ｃ≦５ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりなし
下１桁目：繰り上がりなし
〈２〉ｂ＝２、６≦ｃ≦９ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりなし
下１桁目：繰り上がりあり
〈３〉 ｂ＝３、６≦ｃ≦９ または、４≦ｂ≦９、６≦ｃ≦９ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりあり
下１桁目：繰り上がりあり
〈４〉４≦ｂ≦９、２≦ｃ≦５ の場合
下３桁目：繰り上がりあり
下２桁目：繰り上がりあり
下１桁目：繰り上がりなし
になります。
すると、〈１〉、〈２〉、〈３〉、〈４〉のそれぞれに対して、（５） と ｓ（ｎ＋８６４）は、
〈１〉 ２≦ａ≦９、２≦ｂ≦３、２≦ｃ≦５ の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋（ｃ＋４）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－２＋ｂ＋６＋ｃ＋４
＝ａ＋ｂ＋ｃ＋９
＝２９
≠２０
になり、条件を満たすｎはありません。
〈２〉 ２≦ａ≦９、ｂ＝２、６≦ｃ≦９ の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋１０＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋７）＋（ｃ－６）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－２＋ｂ＋７＋ｃ－６
＝ａ＋ｂ＋ｃ
＝２０
になり、これは条件を満たします。
このとき、ｎが最小になるのは、ｂとｃがそれぞれ最大値（ｂ＝２、ｃ＝９）をとる場合で、これから、ａ＝２０－ｂ－ｃ＝９ になり、したがって、ｎの最小値は ９２９ です。
〈３〉 ２≦ａ≦９、ｂ＝３、６≦ｃ≦９
または、２≦ａ≦９、４≦ｂ≦９、６≦ｃ≦９の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（ｂ＋６）＋１０＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１０（３＋６＋１）＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－２）＋１００＋（ｃ－６）
＝１０００＋１００（ａ－１）＋（ｃ－６）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－１＋ｃ－６
＝ａ＋ｃ－６
≦９＋９－６
＝１２
になり、条件を満たすｎはありません。
〈４〉 ２≦ａ≦９、４≦ｂ≦９、２≦ｃ≦５の場合
ｎ＋８６４＝１０００＋１００（ａ－２）＋１００＋１０（ｂ－４）＋（ｃ＋４）
＝１０００＋１００（ａ－１）＋１０（ｂ－４）＋（ｃ＋４）
で、これから、
ｓ（ｎ＋８６４）＝１＋ａ－１＋ｂ－４＋ｃ＋４
＝ａ＋ｂ＋ｃ
＝２０
になり、これは条件を満たします。
このとき、ｎが最小になるのは、ｂとｃがそれぞれ最大値（ｂ＝９、ｃ＝５）をとる場合で、これから、ａ＝２０－ｂ－ｃ＝６ になり、したがって、ｎの最小値は ６９５ です。
以上から、条件を満たすｎの最小値は ６９５ で、これが答えです。
簡単な問題です。
