東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和２年度灘高入試問題です。

問題は、
「下の図のように、中心がＯ、半径が１の円Ｋの周上に点Ｐをとり、円Ｋの内部に点Ａをとる。


半直線ＯＡ上に、線分ＯＡの長さと線分ＯＢの長さの積が１となるような点Ｂをとる。

（１） △ＯＰＢ∽△ＯＡＰ となることを証明せよ。
（２） 半直線ＯＡと円Ｋの交点をＣとおくと、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣとなることを証明せよ。
（３） 図のように円Ｋの周上に点Ｑをとり、直線ＰＱに関して点Ａと線対称である点をＤとおくと、△ＤＰＢ∽△ＱＯＢ となることを証明せよ。」
です。

図１のように、ＯＡ＝ｋ とすると、 ＯＡ×ＯＢ＝１ から

です。


そこで、△ＯＰＢと△ＯＡＰ に注目すると、それぞれ、

と
ＯＡ：ＯＰ＝ｋ：１
になり、
ＯＰ：ＯＢ＝ＯＡ：ＯＰ
が成り立ちます。

また、∠ＰＯＢ＝∠ＡＯＰ なので、△ＯＰＢと△ＯＡＰにおいて、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなることから、△ＯＰＢ∽△ＯＡＰ を証明することができました。

次に（２）です。

図２のように、ＯＡ＝ｋ とすると、

で、ＰＢ＝ｌ とすると、△ＯＰＢ∽△ＯＡＰ から、ＰＡ＝ｋｌ になります。


すると、
ＰＡ：ＰＢ＝ｋｌ：ｌ＝ｋ：１
で、一方、

から、
ＰＡ：ＰＢ＝ＡＣ：ＢＣ
が成り立ちます。

したがって、角の二等分線定理の逆から、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ を証明することができました。

最後の（３）です。

図３のように、△ＯＰＢと△ＯＡＰ の相似比をｋとすると、
ＰＢ：ＡＰ＝１：ｋ
で、このとき、△ＰＡＤは二等辺三角形なので、 ＡＰ＝ＤＰ から
ＰＢ：ＤＰ＝１：ｋ　　　　[１]
です。


また、

から

で、これと[１]から
ＰＢ：ＤＰ＝ＯＢ：ＱＯ　　　[２]
です。

一方、（２）から
∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＣ
で、さらに、直線ＰＱが∠ＡＰＤの二等分線であることから
∠ＡＰＱ＝∠ＤＰＱ
になり、したがって、
∠ＢＰＤ＝２∠ＣＰＱ　　　[３]
です。

このとき、∠ＣＰＱと∠ＣＯＱはそれぞれ弧ＣＱの円周角と中心角なので、
∠ＣＯＱ＝２∠ＣＰＱ
で、∠ＣＯＱ＝∠ＢＯＱから
∠ＢＯＱ＝２∠ＣＰＯ　　　[４]
です。

したがって、[３]と[４]から
∠ＢＰＤ＝∠ＢＯＱ
になり、これと[２]より、△ＤＰＢと△ＱＯＢ において、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなることから、△ＤＰＢ∽△ＱＯＢ を証明することができました。


簡単な問題です。