東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの組合せの問題です。

問題は、
「（ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａ12）は（１，２，３，・・・，１２）の順列で、
ａ1＞ａ2＞ａ3＞ａ4＞ａ5＞ａ6
と
ａ6＜ａ7＜ａ8＜ａ9＜ａ10＜ａ11＜ａ12
を満たす。例えば、（６，５，４，３，２，１，７，８，９，１０，１１，１２）は、その一例である。このような順列の個数を求めよ。」
です。

ａ1＞ａ2＞ａ3＞ａ4＞ａ5＞ａ6
と
ａ12＞ａ11＞ａ10＞ａ9＞ａ8＞ａ7＞ａ6
から、ａ6＝１ で、さらに、ａ1＝１２ または ａ12＝１２ になります。

ここから、ａ1＝１２の場合と ａ12＝１２の場合に分けて調べます。

● ａ1＝１２ の場合
ａ1＝１２、ａ6＝１ なので、２以上１１以下の１０個の整数のなかから４個の整数を選び、それらを大きい順に ａ2、ａ3、ａ4、ａ5 とし、さらに残りの６個の整数を 小さい順にａ7、ａ8、ａ9、ａ10、ａ11、ａ12 とすれば条件を満たす順列になります。

したがって、条件を満たす順列の個数は、

です。

● ａ12＝１２ の場合
ａ12＝１２、ａ6＝１ なので、２以上１１以下の１０個の整数のなかから５個の整数を選び、それらを大きい順に ａ1、ａ2、ａ3、ａ4、ａ5 とし、さらに残りの５個の整数を 小さい順にａ7、ａ8、ａ9、ａ10、ａ11 とすれば条件を満たす順列になります。

したがって、条件を満たす順列の個数は、

です。

以上から、条件を満たす順列の個数は、２１０＋２５２＝４６２（個） で、これが答えです。


簡単な問題です。