こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成３１年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。
問題は、
「 互いに異なる正の整数の書かれたカードが３枚ある。Ａ、Ｂ、Ｃの３人がこのカードを１枚ずつランダムに選び、カードに書かれた数を自分の得点とするゲームを行った。このゲームを複数回行った後、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれが取得した得点の合計はそれぞれ１０点、８点、１８点であった。なお、Ｂは２回目のゲームでＡ、Ｃよりも高い得点のカードを選んだことが分かっている。このとき、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは誰か、理由とともに答えなさい。」
です。
３枚のカードに書かれた数を小さい順に、ｐ、ｑ、ｒ、これらの和をＳ、行われたゲームの回数をｎ（≧２）とすると、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ
Ｓ×ｎ＝１０＋８＋１８＝３６ （★）
が成り立ちます。
このとき、ｐ、ｑ、ｒは １≦ｐ＜ｑ＜ｒ を満たす整数なので、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ≧１＋２＋３＝６
になり、この条件の下、（★）を満たすＳとｎの組合せ（Ｓ，ｎ）は、
（６，６）、（９，４）、（１２，３）、（１８，２）
です。
ここから、上記の４つの場合について場合分けして調べていきましょう。
● （Ｓ，ｎ）＝（６，６）の場合
Ｓ＝６ から、ｐ＝１、ｑ＝２、ｒ＝３ です。
ここでＣの合計得点は１８点で、これを実現するためには、Ｃは３点のカードを全ゲームで選ばなければなりません。ところが２回目にＢが３点のカードを選ぶので、Ｃの合計得点は１８点未満になり、（Ｓ，ｎ）＝（６，６）は条件を満たしません。
● （Ｓ，ｎ）＝（９，４）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの３回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋３ｐ≧ｒ＋３
が成り立ち、これから
ｒ≦５
です。
また、Ｃの合計得点は４ｒ未満でなければならないので、
１８＜４ｒ
が成り立ち、
ｒ＞４．５
です。
したがって、ｒ＝５ で、さらに ｐ＋ｑ＝４ から ｐ＝１、ｑ＝３ になります。
このとき、Ｂの合計得点が８点になるためには、表１のように、Ｂは１、３、４回目のゲームで１点のカードを選ばなくてはなりません。
▲表１．各ゲームでのＢの得点が判りました
さらに、Ｃの合計得点が１８点になるためには、表２のように、Ｃは１、３、４回目のゲームで５点のカードを選び、２回目のゲームで３点のカードを選ぶ必要があります。
▲表２．各ゲームでのＣの得点が判りました
最後に、Ａが選んだ残りのカードの合計得点を計算すると、それは１０点になり、（Ｓ，ｎ）＝（９，４）は条件を満たします。
● （Ｓ，ｎ）＝（１２，３）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの２回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋２ｐ≧ｒ＋２
が成り立ち、これから
ｒ≦６
です。
また、Ｃの合計得点は３ｒ未満でなければならないので、
１８＜３ｒ
が成り立ち、
ｒ＞６
です。
したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１２，３）は条件を満たしません。
● （Ｓ，ｎ）＝（１８，２）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの１回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋ｐ≧ｒ＋１
が成り立ち、これから
ｒ≦７
です。
また、Ｃの合計得点は２ｒ未満でなければならないので、
１８＜２ｒ
が成り立ち、
ｒ＞９
です。
したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１８，２）は条件を満たしません。
以上から、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは Ａ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、平成３１年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。
問題は、
「 互いに異なる正の整数の書かれたカードが３枚ある。Ａ、Ｂ、Ｃの３人がこのカードを１枚ずつランダムに選び、カードに書かれた数を自分の得点とするゲームを行った。このゲームを複数回行った後、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれが取得した得点の合計はそれぞれ１０点、８点、１８点であった。なお、Ｂは２回目のゲームでＡ、Ｃよりも高い得点のカードを選んだことが分かっている。このとき、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは誰か、理由とともに答えなさい。」
です。
３枚のカードに書かれた数を小さい順に、ｐ、ｑ、ｒ、これらの和をＳ、行われたゲームの回数をｎ（≧２）とすると、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ
Ｓ×ｎ＝１０＋８＋１８＝３６ （★）
が成り立ちます。
このとき、ｐ、ｑ、ｒは １≦ｐ＜ｑ＜ｒ を満たす整数なので、
Ｓ＝ｐ＋ｑ＋ｒ≧１＋２＋３＝６
になり、この条件の下、（★）を満たすＳとｎの組合せ（Ｓ，ｎ）は、
（６，６）、（９，４）、（１２，３）、（１８，２）
です。
ここから、上記の４つの場合について場合分けして調べていきましょう。
● （Ｓ，ｎ）＝（６，６）の場合
Ｓ＝６ から、ｐ＝１、ｑ＝２、ｒ＝３ です。
ここでＣの合計得点は１８点で、これを実現するためには、Ｃは３点のカードを全ゲームで選ばなければなりません。ところが２回目にＢが３点のカードを選ぶので、Ｃの合計得点は１８点未満になり、（Ｓ，ｎ）＝（６，６）は条件を満たしません。
● （Ｓ，ｎ）＝（９，４）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの３回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋３ｐ≧ｒ＋３
が成り立ち、これから
ｒ≦５
です。
また、Ｃの合計得点は４ｒ未満でなければならないので、
１８＜４ｒ
が成り立ち、
ｒ＞４．５
です。
したがって、ｒ＝５ で、さらに ｐ＋ｑ＝４ から ｐ＝１、ｑ＝３ になります。
このとき、Ｂの合計得点が８点になるためには、表１のように、Ｂは１、３、４回目のゲームで１点のカードを選ばなくてはなりません。
▲表１．各ゲームでのＢの得点が判りました
さらに、Ｃの合計得点が１８点になるためには、表２のように、Ｃは１、３、４回目のゲームで５点のカードを選び、２回目のゲームで３点のカードを選ぶ必要があります。
▲表２．各ゲームでのＣの得点が判りました
最後に、Ａが選んだ残りのカードの合計得点を計算すると、それは１０点になり、（Ｓ，ｎ）＝（９，４）は条件を満たします。
● （Ｓ，ｎ）＝（１２，３）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの２回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋２ｐ≧ｒ＋２
が成り立ち、これから
ｒ≦６
です。
また、Ｃの合計得点は３ｒ未満でなければならないので、
１８＜３ｒ
が成り立ち、
ｒ＞６
です。
したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１２，３）は条件を満たしません。
● （Ｓ，ｎ）＝（１８，２）の場合
Ｂが１回ｒのカードを選び、残りの１回はｐのカードを選んだとすると、
８＝ｒ＋ｐ≧ｒ＋１
が成り立ち、これから
ｒ≦７
です。
また、Ｃの合計得点は２ｒ未満でなければならないので、
１８＜２ｒ
が成り立ち、
ｒ＞９
です。
したがって、（Ｓ，ｎ）＝（１８，２）は条件を満たしません。
以上から、１回目のゲームにおいて３人の中で２番目に高い得点のカードを選んだのは Ａ で、これが答えです。
簡単な問題です。
