東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００６年ＡＩＭＥの漸化式の問題です。

問題は、
「数列｛ａn｝は、正の整数ｎについて、
　
　
を満たす。ここで、

であるとき、

を１０００で割った余りを求めよ。」
です。

与えられた条件からａk は整数になり、したがって、

とするとＳは整数になります。

続いて、与えられた漸化式をｎ＝１から２８まで並べると、

になり、したがって、

が成り立ちます。

ここからａ31 を計算してＳを求めてもＯＫですが、桁の大きい数の計算（足し算ですが）で少々煩雑なので、ここではａ31、ａ29、ａ3、ａ1 の下４桁を計算することにします。（Ｓを求めるとき右辺を２で割るので、右辺の値の下４桁目の偶奇によって下３桁目の値が異なるので下４桁を調べます）

そこで、[ａk] をａk の下４桁の数とすると、与えられた漸化式から

になります。

すると、

から、２Ｓの下４桁の数は３６６８で、したがって、Ｓの下４桁の数は１８３４になります。

以上から、、

を１０００で割った余りは ８３４ で、これが答えです。


簡単な問題です。