東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成１０年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「直角三角形に半径 ｒ の円が内接していて、三角形の３辺の長さの和と円の直径との和が２となっている。このとき以下の問いに答えよ。
（１） この三角形の斜辺の長さを ｒ で表せ。
（２） ｒ の値が問題の条件を満たしながら変化するとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ、内接円の辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢとの接点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとしましょう。


このとき、
ＡＢ＝ＢＦ＋ＡＦ＝ｃ
ＢＦ＝ＢＤ＝ａ－ｒ
ＡＦ＝ＡＥ＝ｂ－ｒ
から
ｃ＝ａ－ｒ＋ｂ－ｒ＝ａ＋ｂ－２ｒ　　［１］
が成り立ちます。

また与えられた条件は、
ａ＋ｂ＋ｃ＋２ｒ＝２　　　　　　　　［２］
です。

ここで［１］と［２］の辺々を足して整理すると、
ｃ＋ａ＋ｂ＋ｃ＋２ｒ＝ａ＋ｂ－２ｒ＋２
２ｃ＝２－４ｒ
ｃ＝１－２ｒ
になり、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

［１］と［２］の辺々を引いて整理すると、
ｃ－ａ－ｂ－ｃ－２ｒ＝ａ＋ｂ－２ｒ－２
２ａ＋２ｂ＝２　
ａ＋ｂ＝１　　　　　　　　　　　　　 ［３］
になります。　

一方、図２のように、［３］の条件のもと△ＡＢＣの面積が最大になるのは、
ａ＝ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ［４］
の場合で、［３］と［４］から

になります。


このとき、△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので、

で、［１］、［３］、［６］から

になります。

ここで ｒ ＞０で、さらに［５］、［６］、［７］は［２］を満たすので、［７］は与えられた条件を満たします。

したがって、△ＡＢＣの最大値は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。