こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２００６年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「正の整数ａとｂで、ａ＋ｂ＝１０００ を満たし、ａ、ｂともにいずれの桁の数字も０でないａ、ｂの組の個数を求めよ。」
です。
ａ＋ｂ＝１０００ と ａ，ｂ≧１ から、ａ＝１０００－ｂ≦９９９、ｂ＝１０００－ａ≦９９９ になり、ａとｂはいずれも３桁以下の整数です。
そこで、
ａ＝１００ｐ ＋１０ｑ ＋ｒ
ｂ＝１００ｐ’＋１０ｑ’＋ｒ’
（ｐ、ｐ’、ｑ、ｑ’、ｒ、ｒ’ は０以上９以下の整数）
とおくと、
ａ＋ｂ＝１００（ｐ＋ｐ’）＋１０（ｑ＋ｑ’）＋（ｒ＋ｒ’）＝１０００
から、
ｒ＋ｒ’＝１０ （１）
ｑ＋ｑ’＝ ９ （２）
ｐ＋ｐ’＝ ９ （３）
です。
ここから、ａとｂの桁数で場合分けして調べます。
① ａとｂがともに３桁の場合
ｐ，ｐ’，ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ、ｐ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×８＝５７６（個）
です。
② ａが３桁、ｂが２桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。
③ ａが３桁、ｂが１桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ＝９、ｑ’＝０、ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（９，０）→ １個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。
④ ａが２桁、ｂが３桁の場合
②のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。
⑤ ａが１桁、ｂが３桁の場合
③のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。
以上から、条件を満たすａとｂの組の個数の合計は、
５７６＋７２＋９＋７２＋９＝ ７３８（個） で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、２００６年ＡＩＭＥの整数問題です。
問題は、
「正の整数ａとｂで、ａ＋ｂ＝１０００ を満たし、ａ、ｂともにいずれの桁の数字も０でないａ、ｂの組の個数を求めよ。」
です。
ａ＋ｂ＝１０００ と ａ，ｂ≧１ から、ａ＝１０００－ｂ≦９９９、ｂ＝１０００－ａ≦９９９ になり、ａとｂはいずれも３桁以下の整数です。
そこで、
ａ＝１００ｐ ＋１０ｑ ＋ｒ
ｂ＝１００ｐ’＋１０ｑ’＋ｒ’
（ｐ、ｐ’、ｑ、ｑ’、ｒ、ｒ’ は０以上９以下の整数）
とおくと、
ａ＋ｂ＝１００（ｐ＋ｐ’）＋１０（ｑ＋ｑ’）＋（ｒ＋ｒ’）＝１０００
から、
ｒ＋ｒ’＝１０ （１）
ｑ＋ｑ’＝ ９ （２）
ｐ＋ｐ’＝ ９ （３）
です。
ここから、ａとｂの桁数で場合分けして調べます。
① ａとｂがともに３桁の場合
ｐ，ｐ’，ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ、ｐ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×８＝５７６（個）
です。
② ａが３桁、ｂが２桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ，ｑ’，ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（１，８）、（２，７）、（３，６）、（４，５）、（５，４）、（６，３）、（７，２）、（８，１）→ ８個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。
③ ａが３桁、ｂが１桁の場合
ｐ＝９、ｐ’＝０、ｑ＝９、ｑ’＝０、ｒ，ｒ’≠０ です。
このとき（１）、（２）、（３）を満たすｒとｒ’、ｑとｑ’、ｐとｐ’の組とそれらの個数は、それぞれ、
・（ｒ，ｒ’）＝（１，９）、（２，８）、（３，７）、（４，６）、（５，５）、（６，４）、（７，３）、（８，２）、（９，１）→ ９個
・（ｑ，ｑ’）＝（９，０）→ １個
・（ｐ，ｐ’）＝（９，０）→ １個
です。
したがって、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。
④ ａが２桁、ｂが３桁の場合
②のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×８×１＝７２（個）
です。
⑤ ａが１桁、ｂが３桁の場合
③のａとｂを入れ替えた場合なので、条件を満たすａとｂの組の個数は、
９×１×１＝９（個）
です。
以上から、条件を満たすａとｂの組の個数の合計は、
５７６＋７２＋９＋７２＋９＝ ７３８（個） で、これが答えです。
簡単な問題です。
