東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「 ある整数Ｎは、５進法で ａｂｃ と３桁で記述され、３進法で ｃｄｅｅ と４桁で記述される。ただし、ａとｃは１以上の整数、ｂとｄとｅは０以上の整数である。このような条件を満たすＮ、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅの組合せを、１０進法の表記ですべて示せ。」
です。

ａｂｃ と ｃｄｅｅ はそれぞれ５進法と３進法の表記なので、整数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅは、
１≦ａ≦４
０≦ｂ≦４
１≦ｃ≦２
０≦ｄ，ｅ≦２　　　　　　　　　　　（１）
を満たします。

５進法で表記された ａｂｃ と３進法で表記された ｃｄｅｅ を１０進法表記に直すと、それぞれ、
　　　　　　　　　　　　　
と

になります。

すると（２）（３）から
２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝２７ｃ＋９ｄ＋４ｅ
が成り立ち、これを整理すると、
２５ａ＋５ｂ＝２６ｃ＋９ｄ＋４ｅ　　（４）
です。

（４）を見ると左辺が５の倍数なので、両辺を５で割った余りを調べたくなります。

そこで、（４）を
５（５ａ＋ｂ）＝５（５ｃ＋ｄ）＋ｃ＋４ｄ＋４ｅ
と変形すると、ｃ＋４ｄ＋４ｅ が５の倍数になることが判りました。

一方、（１）から
１≦ｃ＋４ｄ＋４ｅ≦１８
なので、
ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝５、１０、１５
です。

ここから ｃ＋４ｄ＋４ｅ の 値で場合分けします。

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝５ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝５－ｃ
から
ｃ＝１
ｄ＋ｅ＝１
です。

これを満たすｃ、ｄ、ｅの組合せ（ｃ，ｄ，ｅ）は（１，１，０）、（１，０，１）で、 これらと（４）を満たすａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅの組合せ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）を求めると、

・（１，１，０）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝３５ → ５ａ＋ｂ＝７ → （１，２，１，１，０） → Ｎ＝３６

・（１，０，１）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝３０ → ５ａ＋ｂ＝６ → （１，１，１，０，１） → Ｎ＝３１

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝１０ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝１０－ｃ
から
ｃ＝２
ｄ＋ｅ＝２
で、（２，２，０）、（２，１，１）、（２，０，２）です。

・（２，２，０）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝７０ → ５ａ＋ｂ＝１４ → （２，４，２，２，０） → Ｎ＝７２

・（２，１，１）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝６５ → ５ａ＋ｂ＝１３ → （２，３，２，１，１） → Ｎ＝６７

・（２，０，２）のとき
　２５ａ＋５ｂ＝６０ → ５ａ＋ｂ＝１２ → （２，２，２，０，２） → Ｎ＝６２

● ｃ＋４ｄ＋４ｅ＝１５ の場合
４（ｄ＋ｅ）＝１５－ｃ
を満たすｃ、ｄ、ｅの組合せはありません。

以上をまとめると、Ｎ、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ の組合せ（Ｎ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ）は、
（３１，１，１，１，０，１）
（３６，１，２，１，１，０）
（６２，２，２，２，０，２）
（６７，２，３，２，１，１）
（７２，２，４，２，２，０）
で、これが答えです。


簡単な問題です。