東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３１年度桜蔭中入試問題を取り上げます。

問題は、
「次の〔　　〕にあてはまる数を答えなさい。

３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナメントを考えます。ゲームは必ず３人で行います。このトーナメントに参加する子どもたちに１から順に番号をふります。番号の小さい順に３人ずつ組み、１回戦を行います。３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。例えば、１番から１１番の参加者１１人でトーナメントをするとき、図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、１０番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。そのあとｄ、ｅの２回ゲーム行うと優勝者が決まります。


１番から８１番の参加者８１人で１回戦を図２のように行うと、優勝者が１人決まるまでに合計〔 ア 〕回ゲームが行われました。


１番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、優勝者が１人決まるまでに合計〔 イ 〕回ゲームが行われました。
優勝者が１人決まるまでに合計２４回ゲームが７行われたとき、トーナメントの決勝、準決勝は図３のようになりました。このときのトーナメントの参加者は〔 ウ 〕人です。」


です。

トーナメントに参加した子どもの人数を３で割ったとき、その商と余り（０、１、２のいずれか）の和の人数がトーナメントを勝ち上がります。

したがって、
８１÷３＝２７・・・０　←１回戦
２７÷３＝　９・・・０　←準々決勝
　９÷３＝　３・・・０　←準決勝
　３÷３＝　１・・・０　←決勝
から、合計のゲーム数は、２７＋９＋３＋１＝ ４０（回）で、これが〔 ア 〕の答えです。

同じように、
２３５÷３＝７８・・・１　←１回戦
　７９÷３＝２６・・・１　←２回戦
　２７÷３＝　９・・・０　←準々決勝
　　９÷３＝　３・・・０　←準決勝
　　３÷３＝　１・・・０　←決勝
から、合計のゲーム数は、７８＋２６＋９＋３＋１＝ １１７（回） で、これが〔 イ 〕の答えです。

最後の〔 ウ 〕です。

７人が準決勝に進んでいるので、準々決勝に、
（１） ２１人の子どもが進み、７ゲーム行われた
（２） １９人の子どもが進み、６ゲーム行われ、１人はそのまま準決勝に進んだ
（３） １７人の子どもが進み、５ゲーム行われ、２人はそのまま準決勝に進んだ
のいずれかになります。

これらの（１）から（３）について、同じように勝ち上がった子どもの人数と行われたゲーム回数をまとめると、下表のようになります。


以上から、与えられた条件を満たすトーナメントの参加者は ４９ 人 で、これが〔 ウ 〕の答えです。


簡単な問題です。