受験で実力を得点に変えよう(家庭教師の心がけ)

受験で実力を得点に変えよう(家庭教師の心がけ)

家庭教師歴約25年。医学部東大など難関大学受験生中心に教えてきました。ちょっとした工夫でケアレスミスを防ぎ実力が点数に反映させる実践的方法や受験生の質問の多かったポイントや過去問などのブログにする予定です。ご連絡あればkatekyo424-public@yahoo.co.jpまで。

みていただきありがとうございます。過去の家庭教師の経験(詳細はプロフィールにあります)から難関大に対処するための

ケアレスミス対策(巷に溢れてるのより多分使えるやつ)
逆像法
極座標と極形式
物理とエネルギー
解答速報(僕ならこう解きたい)
受験生の悩むポイント(数学編)


などを中心に解法の解説よりも、経験から受験生が普段から何を意識して勉強すると効果的か、何を意識して問題を解くと得点に反映しやすいかという部分を中心に記事にアップしていくつもりです。よろしくお願いします!

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少し仕事が忙しくなり、動画の更新が滞ってしまいました。暇ができたら再開する予定でしたが、今年度はありがたいことに早めに仕事の依頼が数件あり、時間がなかなか作れなそうです。落ち着いたら、徐々に時間を見つけて、仕事に差し支えない範囲で動画を再開するつもりです。

 

例年は大体4月下旬までゆっくり休むのですが、すでに依頼を引き受けた以上、昨年度結構ゆっくりしすぎてしまったこともあり、長期休暇なしで仕事をしようと思っています。


やる気のない生徒を強制的にやらせてほしいという案件は、お断りさせていただいています。ブログは難関大学向けですが、志望校のレベルの高い低いや現時点での実力関係なく、「やる気があるなら」もしくは「理解することでやる気を引き出す仕事なら」、全力を尽くします。

 

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に詳しくあります。ここ数年は、対処できる範囲であれば大学生もやっていますので、ご依頼やご相談などありましたら、遠慮なくこちらへメールして下さい (いただいたメールが迷惑メールに入っていることもたまにありますので、万一返信が遅いときは、コメント欄に一言いただければ助かります)。



ニュートンビーズ


さて、今回は久々にオリジナルの解答速報的なやつです。ニュートンビーズの現象を考察させるとても面白い問題なので、動画にしようとも思ったのですが、ニーズがあるのかなぁ?というのと、問6が全く自信がないので、とりあえずブログにしました。以下は自分の授業用のまとめをGoodnotesの変換機能用いて作ったものです。思ったより大変でしたが、手書きを変換できるなんて便利な時代になったものです。。

 

問題は予備校のサイトなどでご確認ください。僕は、解答は必要に応じて軽い確認以外なるべく見ないようにしているので、問題のみを早めに公開してくれる代ゼミの解答速報を利用させてもらっています。

 

本問は、「間違った仮説や想定を提示して、どこに問題点があるかを考えさせる」ことで、劇的に難易度が上がっています。当たり前ですが、解いていて「こんな仮定やばくね?」という疑問を受け入れながら解く感じになるので、出題者の出題意図がとにかく捉えづらく、気持ち悪い感じでずっと解いていました。普通の入試問題より、本気で物理を考える脳を使わされた気がするので、「こういう問題がメインの時代がくると、いよいよ解く側は対策しづらくなり、大変になるだろうなぁ」とも思います。

 

問1は問題の誘導に従うだけですが、案外盲点になりやすいのかなぁ?高校物理の範囲を超えますが、積分使える人であれば、あまり考えずに解けると思います。問2では、撃力次第では中心が等速で動く可能性も否定しきれないとは思いますが、(中心からの視点で考えればどちらで考えても同じなので)素直に中心を固定してほしいはずだと考えて、運動方程式と束縛条件で解きました。線密度を使って質点と同様に微小領域を扱う感覚がないと、ここが山になったかもしれません。いつのまにかこんなのも入試範囲に侵食してきてるんですね。物理の基本とはいえ正しい方向なんだろうか??

 

 

問題の先読みをサボったため、問3あたりから「なぜ重力無視?ありえなくね?なんか問題読み間違えてる?」と疑問がわき始めます。ただ、とりあえず素直に誘導にしたがって解いていきました。で、問4で「ニュートンビーズ」の誘導だったのか!と感心したのですが、「あれ?今まで重力ないとしてるはずだけど??」と思い、問題文全体を読み確認したところ「想定の問題点を考察させる問題」ということにやっと気づき(←遅い。。)、この問題の本当の面倒なところを捉えました。


想定の問題点を最後に考察しないといけないので、以降は解きながら疑問や違和感をメモしました。最初は「g=0の張力や遠心力をg≠0で使って大丈夫なわけないよなー?」という疑問でした。


とはいえ素直に誘導に従うしかないので解いていきます。試験ならすぐに割り切ってそうやっていたと思いますが、仕事の準備なので、再度今までやったことと自分の認識に矛盾がないことをここで再確認しました。


丁寧な誘導をしてくれていますが、単位面積の力である圧力を単位長さの遠心力に置き換えていたりと、線密度面密度の扱い知らないと、「本当にこんなことやっていいのか?」やや不安に思いながら解くことになるはずです。(大学の電磁気学の電荷の線密度や面密度扱う問題知ってれば簡単なんですが。。。)


 

次に「(f)の下向きの外力って重力しかないのに重力と張力を別の外力として分けるの大丈夫なの?」と思います。通常の問題なら「絶対自分が何かを見落としてるはず」なんて考えてリカバーするのですが、そもそも半円部への重力無視が意味不明な上、本問では設定に問題があると明記されているので、とりあえずそのまま進めていくしかありません。


結局問4も問5も、問題の仮定や想定を一応受け入れて、やれと言われたことに従ってやる感じで解き、問5の想定1までは解法自体は案外迷わずにいけました。

 


最初に解くときに引っかかったのは「想定2」の方です。たるんだヒモの張力の方向との釣り合いで、「下向きの力がなんなのか?」は少し考えました。存在できない力を仮説として考える問題を古典力学で作るとは思えないので、「まあ等速運動させるために残ったヒモの部分が、(少しグレーな表現ですが)固定点のように下方向引っ張り返していると素直に考えてほしい想定だろう」とすぐにわりきりました。この辺は試験のときでもある程度は考える気がします。


さていよいよ本題の問6です。これはめちゃくちゃ悩みました。しかも全く自信ないです。。。実際の試験では、じっくり考える時間はとれないので、問5まで誘導に従って処理して、問6は捨て気味に軽く書いて妥協し、他の問題の見直しするのが現実的かもしれません。



まず、問題点はあちこちにあるので、本問ではそれぞれの想定で仮定した内容のみの問題点に絞って答えるのが出題意図だろうと判断しました。そこで想定1は「ひも全体が失う位置エネルギー」=「右側のひもの下端が失う運動エネルギー」ということの問題点、想定2は「同じ高さの上昇しているひもの張力にひとしい」ということの問題点に絞ることに決めます。


想定1の脳内を軽くフォローすると、ある微小時間に


1.「右側のひもの下端が失う運動エネルギー」=「ひもの左端がうけとる運動エネルギー」であること

2.「ひもの各微小領域の位置エネルギーの変化」=「重力がひもの各微小領域にする仕事」であるから、「ニュートンビーズを形成しているひも全体で失った位置エネルギー」= 「重力のする仕事」と捉えられること

3.ニュートンビーズの運動の左側のコップから上へ飛び出す上への撃力を生み出す外力は、ニュートンビーズ右側の下向きの重力しか考えられないこと


この3点から、Q.3(d)を使いそうなことは見えたのですが、g=0と仮定した撃力fを、Q.4(f)で張力ρv^2と重力ρ(L+H)gを分けて考えている状況で、その重力を外力として使うことに違和感があり、かなり悩みました(未解決)。Q.4(f)でg=0と仮定した張力や遠心力をg≠0で普通に用いていること自体が危ういので、スッキリと出題者の意図はこれに違いないと、自分が納得できる結論がまとまりません。ここでは上記の理由3から、重力をQ.3(d)における外力と置き換えるしかないと妥協して4枚目の画像のようにまとめました。が、正直微妙で今も気持ち悪い。。。何か見落としているのかなぁ?


想定2は、上記のQ.4(f)でg=0と仮定した張力をg≠0で普通に用いてつりあいの式をたてていることを問題点としておきました。こちらはまあこんなもんだろうと最初に解いたときには特に迷いはなかった気がします。


問6に確信持てなかったので、念のため予備校の解答速報を確認させていただきました。想定1は概ね駿台とは近い感じでしたが、他はもっとシンプルに書いていました。想定2も一応駿台の解答の一部なので、目の付け所はそこまでおかしくなさそうです。他予備校のL=0がおかしいという解答は、なるほどーとも思ったのですが、そもそもおかしいということに目をつぶれば、「極限状態自体を否定して解答として成立するのだろうか?」といった疑問も感じるので、やはりなにか僕が見落としている可能性がかなりあると思います。。。なにかおかしいことなどありましたら、遠慮なくご指摘ください。いずれ時間あるときに、一度リセットしてからちゃんと再検証するつもりです。


初めて考える設定で、問題点のある仮定で解き、その問題点を考察するのはこんなに悩むものかととても勉強になりました。高校物理の範囲なんだろうか?という疑問もありますし、試験問題として時間内に解くのは厳しいですが、物理学科にいく人が必要なのはこういう問題点を考察する思考力なのかもしれませんね。でも医学部の問題なんだよなー。


去年の東大物理もかなり難問でしたが、こっちの問6は別の意味でそれ以上の難問だと感じました。。。


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極座標と極形式のうち極座標に焦点を絞った内容の動画編です。

動画シリーズの再生リストは極座標でr<0を考えるメリットにあります。

 

もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。

 

 

今回は、極座標における変域についてまとめr<0を定義するメリットの1つを↓で紹介しています。

 

極座標自体は、自分ではモノグラフの公式集の知識とチャートの例題と入試問題くらいしか高校数学として勉強していなくて、そこに大学で用いる座標変換や物理の惑星の軌道とかで考えさせられた内容を肉付けしたものがベースになっています。数学の常識を知らないぶん、おかしなことなどあるかもしれませんので、なにかおかしな点などありましたら遠慮なくご指摘ください。よろしくお願いいたします。

 

本動画のダイジェスト

最初に前回の復習をやり
r<0に限定して説明した(r,θ)→((-r),θ+π)の変換はrが全実数でも定義できるので、そこを修正しました。
 
 
その後座標における変域と直交座標と極座標の違いをまとめます。
直交座標はx,yが全実数動けないと平面上に穴が開くこと
極座標の動径rを全実数動かす意味
極座標の偏角θを全実数動かす意味
双方動くと1点を表す座標が無限に存在してしまうことが直交座標との違いであること
そのため変域を制限して各点に対応する座標を1つに絞っていること
それにも関わらず極方程式は普通の方程式と同様変域を全実数に拡張すること
を紹介しています。
 
 
 
次に直線の極方程式の簡単な例を2つ使って、r<0を考えるメリットをみせています。
直交座標におけるyのみを制限した場合と極座標におけるθのみを制限した場合という感じでバランスをとってみました。
 
r<0を考えなくても問題ない直線の極方程式の例
r<0を考えないと面倒なことになる極方程式の例
r<0を導入することで極方程式を1つまとめられることを説明して
それがメリットの1つであることを紹介しました。
 
 
その後もう一つの例を用いて、こちらでも変域を全実数考えるとどうなるかを解説しています。
最初にr<0のところで仮想直線を考えると結局元の直線に重なることを説明し
偏角を回していって、何回も同じ線をひいている様子をみせて
r<0による隠れたメリットというか仮想直線を考えられるようになることをいったあと
問題解く際には、自分の好きなように変域を絞ってやって全く問題ないこと
最後の次回は双曲線についてやることを予告して

動画を終了しています。

 

極座標に限定した内容なので、正直ニーズが少ないような気もしますが、とりあえず双曲線まではやって、逆像法に戻ってから、またこっちに戻ろうかなぁ?なんて考えています。お時間ある方は是非一度ご覧になってください。

 

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極座標と極形式のうち極座標に焦点を絞った内容の動画編です。

動画シリーズの再生リストは極座標でr<0を考えるメリットにあります。

 

もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。


逆像法の平行移動で拡大縮小をやるべきかとか煮詰まってるうちに、若干動画作りがしんどくなってきたので、気分転換に別シリーズを始めることにしました。作ってる時間そんなにないのになぜ並行してしまったのかわかりませんが、作りたいものを作った方がいいかなと思って、あまり計画性なくスタートしてしまっています。

 

過去に質問を受けることが多かったシリーズ第2位といって良い、「なんで極方程式になるとr<0を考えるんですか?」というものに対する答えのようなものをシリーズにしてまとめる予定です。こんなゴリゴリの理系向けの動画にニーズがあるのだろうか??

 

初回は、極座標の紹介とr<0の定義の導入を↓にまとめてみました。

 

極方程式以外は、普通の参考書などにあまり載っていないそうなことをやる予定です。それなりに検証作業はしていますが、僕の勝手なアイディアにおいて、数学の人から見て若干危うい表現などあるかと思いますので、やばそうなところあれば是非ご教授ください。よろしくお願いいたします。

 

本動画のダイジェスト

本動画シリーズの想定しているレベルやどれくらいまで大学の内容に踏み込むかの予定をやり

【注】本動画シリーズでは動径という用語を半径と同じように長さを含んだ方の定義を採用しています(矢野健太郎先生のモノグラフの定義です)。動径自体は極を中心に回る半直線という定義もあるのですが、半径の長さといちいち書くのが面倒なのと同じで、動く点への半径である動径もわざわざ長さと書かない方が良い気もします。それとともに、偏角と動径の文字数を揃えた方が動画の見栄えが良くなることもこの定義に決めた理由です。
 
前半は、極座標の紹介をしています。
 
最初に平面のどこに極をおいてもOKであること
 
どの方向に始線を考えてもOKであること
 
平面上のあらゆる点を動径と偏角の組み合わせで表せること
 
極や始線は問題を解きやすいように自分で勝手に設定してOKであること
 
始線をx軸正領域に合わせて、直交座標と極座標を対応させ
 
r≧0で平面上の全ての点を表すことが可能な事に再度触れて
それにもかかわらず、なぜかr<0を考えるという導入部分までをやります。
 
後半ではr<0の定義を紹介し、負の動径の扱い方を紹介します。

 

「なんでこんな定義をするのか?」というのを、複素数平面を借りて対応関係をみせて

 

このアイディアは以前ブログの記事でアップした

こちらにいただいたコメントをヒントにさせていただき、導入に使わしていただきました。貴重なコメントありがとうございました。

 

最後に今後の予定で

次回以降r<0のメリットを上げていくという感じでまとめています。

 

逆像法の続きと並行しながら、仕事とのバランスを考えた頻度で、やれる範囲でやっていくつもりです。のんびり更新になることお許しください。お時間ある方は是非一度ご覧になってください。

 

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逆像法の動画編です

動画シリーズの再生リストは逆像法を使う?使わない?にあります。

 

もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。

 

前々回の動画↓

 

において、さらにその前の

↑こちらで後回しにしますと、とばした解法について検証をしました。

 

その解法は本ブログの↓

のコメントにいただいた別解になります。

 

そのあと、コメントに教えていただいた、yを定数とみて簡単に別解の合法性が理解できることを前回の動画↓でまとめました。

 

今回はもう一つ頂いたコメントのご指摘である「(x+y/2)の変域を考えるのがなぜ重要なのか」について、

 

まずは別解と同じように解くとうまくいかない具体例として

の3問を使って

 

↓の動画にまとめたのが今回の動画です。

 

解説用に作った問題のため、ミスなど十分に考えられます。何かおかしな点などありましたら忌憚ないご指摘よろしくお願いいたします。

 

本動画のダイジェスト

まずは前々回の検証を軽く振り返って

 

頂いたコメントのご指摘を紹介し


最初の2問を円の変域として考えて大丈夫か?と問題提起をして

 

3問目は円の変域として考えてはダメな具体例をあげ

 

なぜ2問目は大丈夫かを解説

 

3問目はどう考えるべきかを解説

 

別解の解法で3問目を解くと答えがおかしくなることをまとめて

前半が終了となります。

 

後半はそれぞれの問題を【1,1】型逆像法として処理しました。

 

1問目

 

2問目

 

3問目

 

全部同じように処理できます。そのあとまとめに入ります。

 

1.変域を気をつけるのはどういう場合か

 

2.逆像法の隠れた長所

 

3.順像法逆像法どっちで解くかについては、模範解答より自分の好みが大事であること

 

4.最後に判断基準のあくまでも一例を示して

動画を終わりにしています。

 

4次関数の陰関数までいくと文系の範囲と断定するにはグレーゾーンのような気もするので、もう少し簡単な例にしたかったのですが、どうしても思いつきませんでした。。。解説や解法に関しては、文系の範囲内で収めているはずなので、文系の方もぜひ一度ご覧になってみてください。

 

次からはグラフの平行移動、置き換えといったテーマをやり、逆像法との相性の良さについて追補版のミニシリーズみたいな感じで何個かに分けてまとめる予定です。少し構想に時間をかけたいので、若干空くかもしれませんが、アップロードした際はぜひご覧いただければ嬉しいです。

 

 

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逆像法の動画編です

動画シリーズの再生リストは逆像法を使う?使わない?にあります。

 

もし数学の応用問題で悩んでいる方がお知り合いにいらっしゃいましたら是非一度見てみたらと紹介してみていただけると嬉しいです。

 

前回の動画↓

 

の動画において、さらにその前の

 

 

こちらで後回しにしますと、とばした解法について検証をしました。

 

その解法は本ブログの↓

のコメントにいただいた別解になります。

 

自分なりに検証した結果を動画を上げたのですが、yを変数と思い込み、x+y/2とy変数の束縛のなさこだわって回り道をした解説になってしまいました。動画を上げた後にYouTubeのコメントに「判別式の定義を考えるだけで別解と普通の解答がと同じなのが自明」といった内容のコメントいただき、「yを定数」と理解するのが一番簡単であることを教えていただいたので、そこに関してフォロー動画として作らせていただいたのが↓の動画になっています。

 

 

自分自身徐々に柔軟性を失ってきていることは自覚していましたが、改めていろんなことに気付かされる良い機会になりました。前回の繰り返しになりますが、YouTubeアメブロいずれも、今までの全ての貴重なコメントに心より感謝しています。本当にありがとうございました。

 

本動画のダイジェスト

まずは前回の検証を軽く振り返って

 

頂いたコメントのご指摘を紹介し

 

普通の逆像法の解法を振り返り

 

yをkと固定した形に置き換えて、「平方完成して解を求めにいって」存在条件を追求した別解を示し

 

判別式の導出仮定を復習して

 

両方の解法が全く同じというコメントのご指摘を動画にさせていただきました。

 

当然この別解が全く問題ないことをいって

 

定数と変数を解く側が自由に選択できることに触れ

 

固定すべき文字を固定できないと変数が増えて時間をロスしてしまうこと

 

文字をどちらにでもみられるように、柔軟な視野をもつことこそ、入試本番に大事であること

 

という流れでまとめました。前の動画は混乱を招く可能性もあり消すべきか迷ったのですが、貴重なコメントを残したいことと、受験生にとって良い反面教師になるかなと考えてあえて残させていただきます。前回の検証は、回り道になっており、「yを定数と捉えれば別解は問題ない」というのが最も効率の良い理解の仕方です。お時間許す方はぜひ一度ご覧になってみてください。

 

 

次回は、もう一つ頂いたコメントにあるように

 

x,yに束縛条件が加わったときどうなるかをやる予定です。この別解が問題ないかという質問をいただいたときに、コメントいただいた方と同様に僕自身も(x+y/2)の変域は大丈夫なのか?と気になってコメントで触れたのですが、

 

そこを丁寧に考えるために(x+y/2,y)の独立性に触れた理由についてやります。ご指摘のあったように「本当に変域を隙間なく埋められてるか(大学ではこれを稠密性といいます)問題」は結構重要なことで、別動画にはなると思いますが、そういうのが大事になる具体的な過去問例とかも余裕あれば取り上げたいです。

 

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