『経済・ファイナンスデータの軽量時系列分析』
の章末問題を解いていきます。
必要に応じ『統計学のための数学入門30講』
Rの実施は『経済・ファイナンスデータの計量時系列分析』章末問題をRで解く－第1章時系列分析の基礎概念－にあります。
1.1
E(x)=\sum{kPr(x=k)} ... 30講p19\\
つまり和は分解できるので
\begin{align}
\gamma_k &= E(y_t y_{t-k}) - \mu{E(y_{t-k}) + E(y_t)} + E(\mu^2) \\
&= E(y_t)E(y_{t-k}) - \mu{E(y_{t-k}) + E(y_t)} + E(\mu^2) \\
&= \mu\mu - \mu(2\mu) + E(\mu^2) \\
&= -\mu^2 + E(\mu^2) \\
\gamma_{-k} &= E(y_t y_{t+k}) - \mu{E(y_{t+k} + E(y_t)} + E(\mu^2) \\
&= E(y_t)E(y_{t+k}) - \mu{E(y_{t+k} + E(y_t)} + E(\mu^2) \\
&= \mu^2 - 2\mu^2 +E(\mu^2) \\
&= -\mu^2 + E(\mu^2) \\
ゆえに \gamma_k &= \gamma_{-k}
\end{align}
1.2
y_t = \mu + \epsilon_t, \epsilon \sim W.N.(\sigma^2)
定義1.4より、
\begin{align}
E(\epsilon_t) &= 0 \\
\gamma_k &= E(\epsilon_t \epsilon_{t-k}) =
\begin{cases} \sigma^2 & k = 0 \\
0 & k \neq 0
\end{cases} \\
よって \\
E(y_t) &= E(\mu + \epsilon_t) \\
&= E(\mu) + E(\epsilon_t) \\ &= \mu \\ Cov(y_t, y_{t-k}) &= E[(y_t - \mu) (y_{t-k} - \mu)] \\ &= E[(\mu + \epsilon_t - \mu) (\mu + \epsilon_{t-k} - \mu)] \\ &= E[\epsilon_t \epsilon_{t-k}] \\ &= \gamma_k \\
\end{align}
ゆえに(1.8)のモデルは弱定常過程
1.4
わからず、、、