二次曲線の回転｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回は二次曲線の回転を教えます。

$2次曲線の回転$

考え方

点(x,y)を原点中心にθ回転させて(X,Y)に移動するとする。
このとき複素数平面の回転の知識を使うと次のように書ける。

$ X+Yi=(x+yi)(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=(x\cos{\theta}-y\sin{\theta})+(x\sin{\theta}+y\cos{\theta})i $

これの実部と虚部を比較することで

$ X=x\cos{\theta}-y\sin{\theta} , Y=x\sin{\theta}+y\cos{\theta} $

を得る。
与えられた式はx,yの式だからこの2つを連立させてx=(X,Yの式),y=(X,Yの式)にして代入すれば回転させたあとの曲線の式が得られる。

これが基本的な考え方です。しかし回転移動の場合，連立方程式を解かなくても次の考えを使えば一発で立式できます！
「(x,y)をθ回転させたら(X,Y)になる」
＝「(X,Y)を(-θ)回転させたら(x,y)になる」
つまり

$ x+yi=(X+Yi)(\cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)})=(X+Yi)(\cos{\theta}-i\sin{\theta}) \\ = (X\cos{\theta}+Y\sin{\theta})+(Y\cos{\theta}-X\sin{\theta})i $

実部・虚部を比較すれば

$ x=X\cos{\theta}+Y\sin{\theta} , y=Y\cos{\theta}-X\sin{\theta} $

をもとの式に代入すればよい。

なお原点以外の点を中心に回転する場合は一度原点中心になるように平行移動したあと回転し，最後に元に戻せばよいでしょう。

例題１

k>0とする。双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{k^2}-\frac{y^2}{k^2}=1 $を原点中心に45°回転させてできる曲線の方程式を求めよ。

答え双曲線上の点(x,y)が原点中心に45°回転させて(X,Y)に移動するとする。
(X,Y)を-45°回転させたものが(x,y)だから

$\displaystyle x+yi= (X+Yi)(\cos{(-45°)}+i\sin{(-45°)})=\frac{\sqrt{2}}{2}(X+Yi)(1-i) \\ =\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\left\{(X+Y)+(Y-X)i \right\} $

実部・虚部を比較すると

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}X+\frac{\sqrt{2}}{2}Y , y=\frac{\sqrt{2}}{2}Y-\frac{\sqrt{2}}{2}X $

なのでこれをもとの式$ x^2-y^2=k^2 $に代入すると

$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2}X+\frac{\sqrt{2}}{2}Y \right)^2-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}Y-\frac{\sqrt{2}}{2}X \right)^2 =k^2 $

$ (x+y)^2- (x-y)^2 =2k^2 $
$ 4xy=2k^2 $
よって求める式は$ 2xy=k^2 $

これはつまり$\displaystyle y=\frac{\frac{k^2}{2}}{x} $なので反比例のグラフになりますね。つまり反比例のグラフは双曲線なのです。

例題２

楕円

$ 11x^2+2\sqrt{3}xy+9y^2+10\sqrt{3}x-6y=39 $

について考える。
(1)　点(0,1)を中心に楕円を60°回転させた式を求めよ。
(2)　元の楕円の焦点の座標を求めよ。

答え(1)　点(x,y)を(0,1)を中心に60°回転させたものを(X,Y)とおくと
(X,Y)を(0,1)中心に(-60°)回転させたものが(x,y)だから

$ x+(y-1)i=(X+(Y-1)i)(\cos{(-60°)}+i\sin{(-60°)} ) \\ = (X+(Y-1)i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i ) \\ = \frac{1}{2} \{X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3}+(Y-1-\sqrt{3}X)i \} $

よって

$\displaystyle x=\frac{1}{2}(X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3}) , y=\frac{1}{2}(-\sqrt{3}X+Y+1) $

を代入すればよい。
両辺4倍してから代入すると

$11(X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}(X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3})(-\sqrt{3}X+Y+1) + 9(-\sqrt{3}X+Y+1)^2 \\ +20\sqrt{3}(X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3})-12(-\sqrt{3}X+Y+1) =156 $

計算すると

$ 11(X^2+3Y^2+3+2\sqrt{3}XY-2\sqrt{3}X-6Y) \\ +2\sqrt{3}(-\sqrt{3}X^2+\sqrt{3}Y^2-\sqrt{3}-2XY+4X) \\ + 9(3X^2+Y^2+1-2\sqrt{3}XY-2\sqrt{3}X+2Y) \\ +32\sqrt{3}X+48Y-72=156 $

整理すると
$ 32X^2+48Y^2 -36=156 $
つまり求める方程式は
$\displaystyle \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1 $
(2)　(1)の回転後の楕円の焦点は$(\pm \sqrt{2} ,0) $であるからこれを(0,1)中心に(-60°)回転させればよい。求める点を(u,v)とすると

$\displaystyle u+(v-1)i=(\pm \sqrt{2}-i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\\ \displaystyle = \frac{\pm \sqrt{2}-i \mp \sqrt{6}i -\sqrt{3}}{2} $

よって

$\displaystyle u=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} , v=\frac{\mp \sqrt{6}}{2}+\frac{1}{2} $

となり
求める座標は
$\displaystyle \left(\frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{2}}{2} ,\frac{1 \mp \sqrt{6}}{2} \right) $（すべて複号同順）

計算が大変ですが二次曲線の計算はそういうものなのです。頑張って計算してください。

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