象が転んだ

　前回の”プロローグ”では､リーマン予想を支える素数公式(素数の自明な個数)とギリシャ数学が取り組んだ”素数列”について述べました。
　そして､この素数の謎である”素数が無限にある事の自明な証明”を､2000年ぶりに解読した”オイラー積”という偉大なる”積分解”の偉業と､そのオイラーが発見したゼータ関数と素数の繋がりについての大まかな概略を述べました。
　すこし抽象的な言い方で解り辛いかもしれませんが。”その2”では､この”素数の謎”に深くメスを入れていこうという事で､宜しくです。

　上述した様に､”オイラー積”と”素数の謎”がガチに結びつき､と同時にゼータの発見に繋がり､リーマンに受け継がれるんですが。
　今日は”素数の謎”ではなく､ゼータの発見に繋がるゼータの起源について述べたいと思います。

 
ピタゴラスの積分解

　この”ゼータの起源”についてですが。これは､解析接続と異なり､誰でも理解できるレヴェルです。これだけでも古来から伝わるゼータの謎が理解出来そうですね。
　オイラー以前のゼータ研究と言えば、まずピタゴラス(紀元前500年頃)による”積分解”が挙げられます。このピタゴラス学派による素数概念の発見•素因数分解の発見•素数が無限個ある事の証明の3つが大きくゼータ関数に影響を与えました。”プロローグ”も参照です。　
　つまり自然数を分解し素数を得るという”積分解”の概念が､素因数分解に繋がり､オイラー積を生み､ゼータの発見に結びついた。
　故に､素数が2500年前に発見されて以来､現代数学の発展の大きな原動力になってます。

　そして､この素因数分解の困難さこそが､現代のセキュリティの基盤となり､ネット社会を支えてんです。我々はギリシャ時代の数学者と素数に感謝すべきですね。
　ただ前述した様に､今日はこのギリシャ時代の”素数の謎”を巡る旅ではなく､ゼータの起源を探る旅です。ギリシャ時代からいきなり14世紀にまでコマを進めます。

ゼータの起源とオーレムの偉業

　この当時は､具体的な級数という概念はなかったんですが。具体的な数値からなる級数を求めたり､新たな級数を発見する事が主流でした。14世紀のインドで発見されたマータヴァ級数や17世紀のヨーロッパで発見されたメルカトル級数(1668年)などが有名ですが。
　特に､フランスの数学者ニコル･オーレム(1323〜1382)により､14世紀に発見された”オーレムの定理”こそがゼータの起源と言われてます(イラスト左下)。
　因みに､この”オーレムの定理”とは”全ての自然数の逆数の和が∞に発散する”というものです。特に､マータヴァやメルカトルと異なる所は､微積分を用いずに”調和級数の発散”を証明してる所です。

　以下で判る様に､実に単純な証明です。1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)•••>
1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+•••
=1+1/2+1/2+1/2+•••=∞
　これは､ギリシャ数学に見られる数値計算による想像ではなく､明らかに現代の論理の力によるものです。”自然数に関する和という形の中にゼータ関数の先駆が見える”と､黒川博士は述べておられます。
　大げさに言えば､この簡素に見えるオーレムの偉業がなかったら､ゼータは存在しなかったかもです。
　事実オイラーは1737年に､この発散する美しき調和級数を(怖れる事なく)素数に渡る積に積分解(オイラー積)します。言い換えれば､オーレムの偉業をオイラーが分解したと。

マータヴァ級数

　一方､マータヴァ級数とは､1−1/3+1/5−1/7+•••＝π/4と今までは”グレゴリ•ライプニッツ級数”と言われてたものです。このマータヴァ(1340-1425)は南インドの数学者･天文学者で､1400年頃に､これを証明したとされてます。イラスト右上の変なオッサンと言ったら失礼か。
　この級数は結果的に､tanxの逆関数のマクローリン展開(グレゴリ級数)を与え､14世紀のインド数学が現代の数学と同等の域に達してた事を証明する偉大な発見でした。

　この式で注目すべきは､オーレムとは異なる有限値となり､三角関数の微分の概念を使い､更に円周率が出てきた事です。これは後のゼータ関数の研究に大きな影響を及ぼしたとされます。このマータヴァ級数の証明ですが。
　まずtanθをθで微分すると､d(tanθ)/dθ=(sinθ/cosθ)'=1/cos²θ=1+tan²θ。
　ここでtanθ=xとおくと､(dx/dθ)'=1+x²､但し|x|<1より､dθ/dx=1/(1+x²)。
　また公比−x²､初項1の無限公比級数の公式より､1−x²+x⁴−x⁶+x⁸−･･･=1/(1+x²)､故に､dθ/dx=1−x²+x⁴−x⁶+x⁸−•••。
　この両辺をxで積分すると､
θ=x−x³/3+x⁵/5−x⁷/7+x⁹/9−･･･=Σₙ[0,∞](−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)。
　tanθ=xより､上式にてθ=tan⁻¹x(=arctanx)とおくと､上式の右辺は､tanxの逆関数のマクローリン展開(グレゴリ級数)の形となってます。
x=1を与えると(ホントはヤバイですが)､
tan⁻¹(1)=π/4=1−1/3+1/5−1/7+•••
=Σₙ[0,∞](−1)ⁿ/(2n+1)と､証明終りです。

　実はこのマータヴァは､ゼータの仲間である”L関数”を最初に研究した人なんですね。
　このL関数は､L(s)=Σₙ[奇数]((−1)^{(n-1)/2}/nˢ=Σₙ[0,∞](−1)ⁿ/(2n+1)=1−1/3ˢ+1/5ˢ−1/7ˢ+1/9ˢ−•••､
で表せますから､L(1)=π/4となってますね。
　因みに､20世紀初頭に活躍する同じ南インド生まれのラマヌジャンは新種の(保系形式の)L関数を発見するのですが､それは同じ南インドの数学の伝統をマータヴァ経由で時空を超えて引き継いだものである。
　更にラマヌジャンは､その新種のL関数の積分解(オイラーの積表示)により､ラマヌジャン予想をリーマン予想として解釈する事も見通したと､「オイラーのゼータ関数」の黒川信重氏も述べてます。

メルカトル級数

　一方､メルカトル級数は1−1/2+1/3−1/4+•••=log2の事で､x−x²/2+x³/3−•••=log(1+x)､但し−1<x≤1､というマクローリン展開にx=1を与えたのと同義ですね。　
　このニコラス･メルカトル(独 1620-1687)も解析学の基礎が未発達の当時､いち早くテイラー展開に相当する概念を見出してました。
　これまた､”区分積分”という手法を駆使し､logという対数が登場する辺りも､ゼータ関数にぐっと近付いてくるのが目に見えるようです。イラスト左上の神父みたいな人です。
　この証明は､交代級数を以下の様に､
1−1/2+1/3−1/4+･･･=Σₖ[1,∞](−1)ᵏ⁻¹/k
=Σₖ[1,n]1/(n+k)と巧く変形します。
　これは､Σₖ[1,2n](−1)ᵏ⁻¹/k=
{Σₖ[1,2n](−1)ᵏ⁻¹/k+2Σₖ[1,n]1/2k}−2Σₖ[1,n]1/2k
=Σₖ[1,2n]1/k−Σₖ[1,n]1/k=Σₖ[1,n]1/(n+k)によりますね。
　上の式だけでは少し判りづらいので､n=2の時を考えると､1−1/2+1/3−1/4
=((1−1/2+1/3−1/4)+2(1/2+1/4))−2(1/2+1/4)
=(1+1/2+1/3+1/4)−(1+1/2)=1/3+1/4となるので､上の式が理解出来ます。

　故に､Σₖ[1,n]1/(n+k)=Σₖ[1,2n](−1)ᵏ⁻¹/k
=•••=Σₖ[1,∞](−1)ᵏ⁻¹/k=1−1/2+1/3−1/4+•••となります。
　ここで､lim(n→∞)Σₖ[1,∞]1/(n+k)
=lim(n→∞)1/n*Σₖ[1,∞]1/(1+k/n)。
　ここで”区分積分法”より､x=k/nと置くと､0<x<1の範囲で､lim(n→∞)1/n*Σₖ[1,∞]1/(1+k/n)
=∫ₓ[0,1]1/(1+x)dx=log(1+x)[x=0,1]=log2−log1=log2を得ます。
　以上より､1−1/2+1/3−1/4+･･•=log2となり､証明終りです。
　因みに区分積分法とは､
S=lim(n→∞)1/n*Σₖ[0,∞]f(k/n)=∫ₓ[0,1]f(x)dxで表せ､積分区間の面積を極細の長方形で刻み､求める手法です。

　とにかく､数学は書いて覚える事です。考える前に書いてイメージする事が大切ですよ。逆を言えば､書かない限りイメージする事は不可能です。黒川博士も嘆いてますが､”解らないと嘆く前に書け”と。
　上の証明も書いてみれば､意外に簡単なもんです。読むだけでマスター出来る程､数学は甘くはないんですよ。案ずるより産むが易しですかね。

美しき調和級数とゼータの起源

　上述した様に､マータヴァもメルカトルも､テイラー展開の概念を先取りしてたんですね。まさに､現代の驚異を凌ぐ驚異です。
　故にゼータ関数に､テイラー展開の公式が何度も腐るほど登場するのも頷けます。

　オーレムがマータヴァやメルカトルと異なる所は､微積分を用いず､足し算だけで”調和級数の発散”を証明してる所です。
　”リーマン教授”に言わせると､この美しき調和級数の発散(オーレムの定理)こそがゼータの起源であると。

　一方で現代数学の原点が､ゼータの起源の先駆者の一人でもあるマータヴァを生んだインドにあったというのも､正直驚きです。
　それに､ギリシャに始まり､フランス(オーレム)､ドイツ(メルカトル)､インド(マータヴァ)の4つの国が､現代数学の基盤を築いた事実も見逃せないですね。 

　前回のプロローグでも述べましたが､オイラーは､このオーレムの”美しき”調和級数にヒントを得て､”オイラー積”Π(p:素数)pⁿ/(pⁿ−1)､という数学史上最大の発見の一つに漕ぎ着け､ゼータ関数を発見したんです。
　ζ(1)=1+1/2+1/3+•••=∞というオーレムの調和級数と､ζ(n)=1+1/2ⁿ+1/3ⁿ+•••=2ⁿ/(２ⁿ−1)•3ⁿ/(3ⁿ−1)•5ⁿ/(5ⁿ−1)•••である”オイラー積”を比較すると､素数が無限に存在する事が証明できますが。それは､オイラー積が”素数全体に渡る積”だからです。
　これは､仮に素数が有限個なら､オイラー積も有限個の積となり､ζ(1)も有限となり､オーレムが発見した調和級数である､ζ(1)=∞に矛盾するからです。故に､素数は無限に存在するんです。
　故に､オイラーの積が素数の謎と結びつき､ゼータに繋がるのが理解できましたね。
　”自然数の逆数の和”という調和級数が”ゼータの起源”である事実と､オイラー積のお陰で､素数が無限に存在する事を自明な形で証明できたという､2つの事をよく理解しときましょう。　

　という事で次回は､”素数の謎”を探る為にギリシャ時代の数学に舞い戻ります。