自由落下運動空気抵抗あり1

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。空気抵抗なしバージョンは以前やったので、今回はありバージョンを計算する。

まずは運動方程式を書く。物体の質量を $m$ 、物体の加速度を $a$ 、物体に働く力を $f$ とおく。

\begin{eqnarray}
ma=f
\end{eqnarray}

物体には重力による引力と空気抵抗が働くとする。重力加速度を $g$ とすると、上方向を $+$ として引力は $-mg$ である。空気抵抗力は速度 $v$ に比例して強くなり、その比例係数を $k$ と置く。これらを右辺の $f$ に代入する。

\begin{eqnarray}
ma&=&-mg-kv\\
\end{eqnarray}

空気抵抗力は $v$ の反対向きに働くのでマイナスがついている。 $v$ が $+$ 方向の時に抵抗力は $-$ 方向、 $v$ が $-$ 方向の時に抵抗力は $+$ 方向ということである。

加速度 $a$ は速度 $v$ を時間 $t$ で微分したものである。 $v$ を $t$ で1回微分したものを $\dot{v}$ と書こう。空気抵抗なしバージョンでは $x$ を基準にしたが、今回は $v$ を基準にした方が後々分かりやすい。

\begin{eqnarray}
m\dot{v}&=&-mg-kv\\
\end{eqnarray}

これで解きたい微分方程式ができた。

空気抵抗なしバージョンでは両辺を直接 $t$ で積分したが、今回は両辺に $v$ の要素が残っているため、その方法は使えない。変数分離法を使用して解く。

まず両辺を $-mg-kv$ で割る。( $-mg-kv=0$ の場合は後述)

\begin{eqnarray}
\frac{m}{-mg-kv}\dot{v}&=&1
\end{eqnarray}

両辺を $t$ で積分すると、左辺では $dt$ が打ち消し合って $dv$ での積分に変化する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\int{\frac{m}{-mg-kv}\dot{v}}dt&=&\int dt\\
m\int{\frac{1}{-mg-kv}\frac{dv}{\cancel{dt}}\cancel{dt}}&=&\int dt\\
-\frac{m}{k} \ln|-mg-kv|&=&t+C_1
\end{eqnarray}

積分が完了した。 $C_1$ は任意定数。

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-\frac{m}{k} \ln|-mg-kv|&=&t+C_1\\
\ln|-mg-kv|&=&-\frac{kt}{m}-\frac{kC_1}{m}\\
-mg-kv&=&\pm\exp{\left(-\frac{kt}{m}-\frac{kC_1}{m}\right)}\\
\end{eqnarray}

変形を進めて $v$ の式に直す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-mg-kv&=&\pm\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)} \exp{\left(-\frac{kC_1}{m}\right)}\\
-kv&=&\pm\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)} \exp{\left(-\frac{kC_1}{m}\right)}+mg\\
v&=&\frac{\mp1}{k}\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)} \exp{\left(-\frac{kC_1}{m}\right)}-\frac{mg}{k}\\
v&=&C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}\\
\end{eqnarray}

任意定数を再度 $C_1$ にまとめて、速度 $v$ の一般解が求められた。

( $-mg-kv=0$ の時、 $v=\frac{mg}{k}$ であり、これは $C_1=0$ の時に等しいので、一般解に含まれてる。)