【中3数学】わかりやすく教える2次方程式の授業

こんにちは、育伸開発です。

今回は中3で学習する2次方程式の応用・動点の問題の授業を行います。点が動いていく状況を把握しつつ方程式を作っていくのがやっかいなものです。実際多くの生徒がこのタイプの問題に苦手意識を持っています。

でも大丈夫です。動点の問題には決まったパターンがありますから、それを押さえて手順どおりに作業を進めれば解けます。何問か解いて慣れれば解く力が付くのです。

復習できるようダウンロードできるプリントも用意しました。定期テストや来たる高校入試に向けて頑張るみなさんを応援します。ファイトー！

今回のダウンロード問題は全部で4問あります。数学が得意な方は先に問題を解いて、後から以下の解説授業を読んでいただいても構いません。

動点問題　１・２問目　sizeA4.pdf (159 ダウンロード)

動点問題　３・４問目　sizeA4.pdf (115 ダウンロード)

動点の文章問題を解く時の手順
問題１：動点の移動距離を出す
問題２：何秒後なのか時間を出す
問題３：動点の距離を出す
問題４：何秒後なのか時間を出す

動点の文章問題を解く時の手順

動点の問題を解くには手順が4つあります。まずはサラッと確認しておいて下さい。具体的には問題を解いていくことで何を意味しているのかわかるようになります。

問われているものを文字にする
必要な部分の長さを文字式で表す
方程式を作る
方程式の解が正しいものか確かめる

では模擬授業を始めます。

問題１：動点の移動距離を出す

先生：では授業をはじめます。気をつけ、礼。お願いします！今日は数学の2次方程式応用問題を扱っていくよ。動点の問題だ。

生徒：うわー、あの点が動くやつですか。

先生：そう。中2の1次関数の単現で出てきていて、苦手とする人が多かったね。でも大丈夫。手順どおりに作業をしていけば解けるから。そしてそれを4問解いて慣れればマスターできるよ。まず手順を４つ紹介しよう。

問われているものを文字にする
必要な部分の長さを文字式で表す
方程式を作る
方程式の解が正しいものか確かめる

先生：この通りにやっていけば答えを出せるようになるよ。では早速問題を1つ出すから、一緒に解いて行こう。

問題1　下の図のように、1辺が6cmの正方形ABCDがあります。辺BC上を点PがBからCまで進みます。点Qは点Pと同時に同じ速さで動き出し、辺CD上をCからDまで進みます。△QPCの面積が 4㎠になるのは、点PがBから何cm動いたときですか。

先生：ではまず手順１だ。方程式の文章問題だから文字はｘを使っていこう。そして「点PがBから何cm動いたときですか」と聞かれているから、ｘcm動いたとするよ（＝BPの長さ）。このように問われているものを文字にするのが手順１だ。そして手順2に移って…

先生：BP＝ｘcm（青い部分）ということだね。このように必要な部分の長さを文字式で表していこう。ちなみに正方形の1辺の長さが6cmだったね。では聞くけどPCの長さは何cmと表せる？

生徒：6－ｘ（cm）

先生：いいね、正解。上の図で言うとBCの長さが6cmだから、そこから余計な長さであるｘを引けばPCの長さが出てくるね。だから 6－ｘ(緑の部分）だ。そうしたら次、CQの長さは何cmと表せる？

生徒：ｘ（cm）

先生：いいね！「点Qは点Pと同時に同じ速さで動き出し」とあるから、BP＝CQだね。ということでBPと同じ長さのｘ（cm）だ。そうしたら必要な部分の長さは文字式で表すことができたので手順3に進もう。問題の文章をもう一度載せておくから読んで方程式を作ってみて。

先生：では方程式言って。

生徒：

先生：ナイス、正解！「△QPCの面積が4㎠になる」とあるから「△QPC＝４」ということだね。三角形の面積を出すには「底辺×高さ÷2」で求められるから底辺のPC＝6－ｘと高さのQC＝ｘを掛けて2で割ろう。2で割るということは「×1/2」でもいいよね。ということで…

先生：このようになる。掛け算を省略して1/2を前に出すなど調節して書くと、言ってくれた通り…

先生：この方程式ができるね。方程式ができたので解いてみて。

・

先生：解は何になった？

生徒：ｘ＝2，4

先生：いいね。途中式を紹介すると以下の通りだ。

まず両辺を2倍して x(6-x)=8

展開して 6x-x2＝8（x2はxの2乗です）

左辺で並び換えて -x2+6x-8＝0

両辺に-1をかけて x2-6x+8＝0

左辺を因数分解して (x-2)(x-4)=0

解は x=2, 4

先生：つまり「点Pが 2cm と 4cm 動いたとき」というのが仮の答えになるね。最後に手順４だ。点Pは２cm進むことはできるのか、4cm進むことは出来るのか確かめよう。両方どう？

生徒：進められる

先生：そうだね。正方形の1辺の長さが6cmだけど、2cm も 4cm も1辺の長さを超えていない。両方とも解として有り得るね。問題の意図に適しているということで、答えは以下の通りだ。

答え　2cm, 4cm

問題２：何秒後なのか時間を出す

先生：では2問目に移ろう。今回は何秒後になるのかを求める問題だけど、さっきと同じ手順でやっていけば答えまでたどり着けるよ。チャレンジしたい人は、自力で解いてみてね。

問題2　下の図のように、縦の長さが8cm、横の長さが16cmの長方形ABCDがあります。辺AB上を点PがAからBまで秒速1cmの速さで進みます。点Qは秒速2cmの速さで点Pと同時に動き出し、辺BC上をBからCまで進みます。△PBQの面積が 15㎠になるのは、点PがAから動き出して何秒たったときですか。

先生：ではやっていこう。まずは手順1ね。「動き出して何秒たったときですか」と聞いているから、「ｘ秒たったとき」としよう。そうすると、今回はｘ秒後の長さを文字式で表していくのが手順2でやることになるね。では聞くけど、ｘ秒後のAPの長さは？

生徒：ｘ（cm）

先生：いいね。1秒で1cm進む速さは秒数と進んだ距離が同じ数字になるね。だからｘ秒後はｘcmだ（赤の部分）。そうすると、今回は「△ＰＢＱ＝ 15 」という方程式を作ることになるから、三角形ＰＢＱの底辺と高さを文字式で表すことになるね。具体的にはＰＢとＢＱが底辺と高さだ。では長方形の縦の長さが8cmとなっていて、PBの長さはどう表せる？

生徒：8－ｘ（cm）

先生：ナイス、正解！ABの長さである8cmから余計な長さであるAPの長さｘを引けば良かったね。だから8－ｘだ（青い部分）。そうするとBQの長さは？

生徒：２ｘ（cm）

先生：素晴らしい！今回点Qは点Pの2倍の速さで動いているね。だから移動した距離もAPの長さの2倍となって、２ｘとなるんだ（緑の部分）。ということで、もう気づいたね。三角形の面積が問題で出ているから、その面積を出すために必要な部分を文字式で表せばいいんだ。その後は手順3、方程式を作ろう。作るとどうなる？

・

生徒：

先生：素晴らしいね、正解だ。BC（2ｘ）を三角形の底辺として、それに高さであるPB(8－ｘ）を掛けて最後に1/2を掛けた式にしたね。正解！ではこの方程式を解いて、足しかめをして、答え出してみて。

・

先生：では聞くけど、答えは何？

生徒：3秒後，5秒後

先生：正解だ、良く出来ました！途中式は以下の通りだよ。

2xの2と1/2の2を約分して x(8-x)=15

展開して 8x-ｘ2=15 (x２はｘの2乗です)

左辺で並び換えて -x２＋8ｘ-15=0

両辺に-1をかけてｘ２-8ｘ+15=0

左辺を因数分解して (x-3)(x-5)=0

解は x=3, 5

先生：解が問題の意図に適しているかのチェックだけど、今回も両方とも問題ないね。8秒後には両方の点が動ききってしまうけど、8秒以下に収まっているので適している。だから…

答え　3秒後，5秒後

＊ここまででプリントの問題が解ける状態になりました。以下の問題をダウンロードして解いてみましょう。問題が4問ありますが、そのうち2問目まで授業で解いたものと同じです。問題3はそれほど難しくありません。問題4は少しだけ難易度を上げてあります。

動点問題　１・２問目　sizeA4.pdf (159 ダウンロード)

動点問題　３・４問目　sizeA4.pdf (115 ダウンロード)

問題３：動点の距離を出す

先生：ここからは自力でやってもらおう。問題3と問題4を解いて下さい。はじめ！（解き終わったらここに戻ってきて解答・解説を確認してくださいね。）

問題3　下の図のように角ACBが直角になっている直角三角形ABCがあります。ACの長さが6cm、BCの長さが10cmです。辺AC上を点PがCからAまで進みます。点Qは点Pと同時に同じ速さで動き出し、辺BC上をBからCまで進みます。△PQCの面積が 12㎠になるのは、点QがBから何cm動いたときですか。