シャワーを浴びているときに,急にピンときました(笑)
ぜひこの感動をお伝えしたく,キーボードを叩いています.
数列{a_n}がαに収束するとき,
lim (1・a_1+2・a_2+‥‥+n・a_n)/(1+2+‥‥+n) =α
となるそうです.
どうやって示しましょうか?
最初はイプシロンで証明していたのですけど,実は,すごく簡単な方法があるんです!
見つけてしまいました.
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数列{b_n}がαに収束するとき,
lim (b_1+‥‥‥+b_n)/n =α
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を利用します.
a_1を1個,a_2を2個,a_3を3個,‥‥という風に並べることで,新しい数列{b_n}を定めると,何が起こるでしょう?
{b_n}:a_1,a_2,a_2,a_3,a_3,a_3,
a_4,a_4,a_4,a_4,a_5,‥‥
この数列は,収束するでしょうか?
数列{a_n}がαに収束するというのが前提なので,十分番号が大きいとa_nはαに十分近いです.
並ぶ数が{a_n}の項ばかりなので{b_n}も番号が十分大きいと,b_nはαに十分近いです.
つまり,{b_n}もαに収束します!
よって,
lim (b_1+‥‥‥+b_n)/n =α
です.つまり,
b_1 / 1,(b_1+b_2) / 2,(b_1+b_2+b_3) / 3,‥‥
という数列はαに収束します.
だから,この数列の一部分を取り出した無限数列も,αに収束します.
(十分に番号が大きいと,値は十分αに近づくから)
例えば,
(b_1) / 1,(b_1+b_2+b_3) / 3,
(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6) / 6,‥‥
は収束します.
3=1+2,6=1+2+3
です.次は,
1+2+3+4=10
だから,
(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8+b_9+b_10) / 10
です.
これは,
{b_n}:a_1,a_2,a_2,a_3,a_3,a_3,
a_4,a_4,a_4,a_4,a_5,‥‥
から,
1・a_1 / 1,(1・a_1+2・a_2) / (1+2),
(1・a_1+2・a_2+3・a_3) / (1+2+3),‥‥
となっています.
まさに,今回考えたいものですね!
だから,
lim (1・a_1+2・a_2+‥‥+n・a_n)/(1+2+‥‥+n) =α
が成り立ちます!
けっこう鮮やかに証明できたと思っているのですが,いかがでしょうか?
日本語と式だけでは,ちょっと伝わりにくいですかね.
そうでしたら,もし良ければ,式の部分をご自身の手で書き出してみてください.
けっこうハッキリ分かってくるのではないかと思います.
読むだけって,なかなか理解は深まらないですからね.
良ければ,チャレンジしてみてください!!
極限などについて大学1年レベルで面白いネタを集めた本
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