2次関数のグラフCのｘ座標がa,bである2点A,Bをとります．
A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．
ちょうど真ん中で交わります．
図の①：①です．
また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b-a)^3に比例することが知られています．比例定数は，(x^2の係数の絶対値)÷6です．
さらに，Cと上記の２接線で囲まれる部分の面積は，上述の面積のちょうど半分になることも知られています．
図で言うと，いずれも「“幅”の３乗に比例」し，「面積比が2⃣：1⃣」であるということになります．
A,BにおけるCの接線の交点Pを通り，y軸に平行な直線を引きます．
つまり，x＝(a+b)/2
この直線がC,直線ABと交わる点をQ,Rとします．
そのとき，
PQ：QR=？
というのを考えてみましょう．
2次関数を式で置いて，方程式を作って交点P,Q,Rの座標を求めたら，比は分かります．
けれど，メンドクサイ．
面積だけを使って求めてみませんか？
まず，A,BとQを結ぶ線分を引いてみます．
すると，放物線と直線で囲まれる面積が現れて，これは，“幅”の3乗に比例します！
A～Bの幅はb-aですが，この２つの領域の幅は，その半分．(b-a)/2です．
だから，面積は，1/8倍になりそうです．
この小さい部分の面積を①と表すことにしたら・・・
Cと直線ABで囲まれる部分は8倍の⑧で，Cと２接線で囲まれる部分は⑧の半分で④になります．
ということは・・・？
⑧から①を２つ切り取って④にくっつけると，上は三角形，下は凹んだ四角形．
その面積が
上下とも⑥になります．同じ面積です！
上下の面積は
QR×(b-a)÷２，PQ×(b-a)÷２
なので，面積が等しいから，PQとQRが等しいことが分かります．
ということで，答えは
PQ：QR＝１：１
でした！
方程式を使わずに，図形の組合せだけで導けました！
こういう風に情報だけで導くのは，定性的なアプローチとして，共通テストでも重視されるはずなので，慣れておきたいですね．
計算だけが数学ではないのです！
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