一様分布の標本最小／最大／中央値【ときどき分布・2記事目】

　標準一様分布の順序統計量X_(i)が従う分布は、

$X_{(i)} \sim \text{Beta}(i,\ n + 1 - i)$

でした。
　X₍₁₎が統計量としての標本最小値、またX_(n)が標本最大値です。それぞれ次の分布に従います。

$\begin{cases} X_{(1)} = X_\text{min} &\sim \text{Beta}(1,\ n) \\ X_{(n)} = X_\text{max} &\sim \text{Beta}(n,\ 1) \end{cases}$

　nが大きくなるにつれ、X₍₁₎はより小さな値をとりやすくなります。その逆に、X_(n)はより大きな値をとりやすくなります。
　また、X₍₁₎とX_(n)で、ちょうど鏡に映した形をしています。

　x₍₁₎ ... x_(n)のうち、真ん中の順位となる観測値が標本中央値x̃です。
　nが奇数なら(n + 1)/2番目が真ん中になります。ひとまず、nを奇数に限定して進めることにします。

　統計量としての標本中央値をX̃で表します。X̃は次の分布に従います。

$\tilde{X} \sim \text{Beta}(\frac{n + 1}{2},\ \frac{n + 1}{2})$

　nが偶数の場合は単一の標本中央値がないので、真ん中2つの平均をとります。これは奇数の場合とは定義が違い正確にいえば別物です。このときのX̃の分布はベータ分布で表現できません。

ぎるばーとのノート