東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題で、これが最後の記事になります。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣ上にそれぞれ点Ｄ、Ｅがあり、４点Ｄ、Ｂ、Ｃ、Ｅは同一円周上にある。また、四角形ＤＢＣＥの内部に点Ｐがあり、
∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ＝∠ＰＥＣをみたしている。

ＡＢ＝９、ＡＣ＝１１、ＤＰ＝１、ＥＰ＝３のとき、

の値を求めよ。

ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

図１に問題の図を描きました。


図２のように、直線ＤＰと直線ＡＣの交点をＱ、四角形ＤＢＣＥの外接円の交点でＤでない方をＳとし、直線ＥＰと直線ＡＢの交点をＲ、四角形ＤＢＣＥの外接円の交点でＥでない方をＴとすると、仮定と円周角の定理から、
∠ＢＤＳ＝∠ＢＰＣ＞∠ＢＤＣ
→ 弧ＢＳ＞弧ＢＣ
になり、ＳはＢがない方の弧ＣＥ上の点で、したがって、Ｑは線分ＣＥ上にあります。


同様に、
∠ＣＥＴ＝∠ＣＰＢ＞∠ＣＥＢ
→ 弧ＣＴ＞弧ＢＣ
になり、ＴはＣがない方の弧ＢＴ上の点で、したがって、Ｒは線分ＢＤ上にあります。

そこで、△ＢＤＰに注目すると、三角形の２つの内角と外角の関係から、
∠ＢＰＱ＝∠ＤＢＰ＋∠ＢＤＰ
が成り立ち、このとき、
∠ＢＰＱ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＤＰ
から
∠ＤＢＰ＝∠ＣＰＱ
で、一方、△ＣＥＰに注目すると、
∠ＣＰＲ＝∠ＥＣＱ＋∠ＣＥＰ
が成り立ち、このとき、
∠ＣＰＲ＝∠ＢＰＲ＋∠ＢＰＣ＝∠ＢＰＲ＋∠ＣＥＰ
から
∠ＥＣＱ＝∠ＢＰＲ
になり、したがって、△ＢＰＲ∽△ＰＣＱです。

また図３のように、∠ＰＤＲ＝∠ＰＥＱ（仮定）、∠ＤＰＲ＝∠ＥＰＱ（対頂角）から
△ＤＰＲ∽△ＥＰＱ
になり、このとき、ＤＰ＝１、ＥＰ＝３から

です。


ここで、四角形ＤＢＣＥの外接円と線分ＡＢ、ＡＣに方べきの定理を適用すると、

が成り立ちます。

また、∠ＱＤＲ＝∠ＱＥＲで、このとき円周角の定理の逆から、図４のように、Ｄ、Ｒ、Ｑ、Ｅは同一円周上にあり、この円と線分ＡＲ、ＡＱに方べきの定理を適用すると、

が成り立ちます。


そこで、（３）を（２）で除して整理すると、

です。

このとき△ＢＰＲ∽△ＰＣＱから、

が成り立ち、ここで、右側の等式に（１）と（４）を代入して整理すると、

になり、これと（５）の左側の等式から、

で、これが答えです。


このブログを始めてから８年になります。ご覧くださった皆様に感謝します。ありがとうございました。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｒｅｍｅｍｂｅｒ， ｄｏｎ’ｔ　ｔｏｕｃｈ　ｔｈｅ　ｐｏｔ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅｒｅ　ｗｈｉｌｅ　Ｉ’ｍ　ｏｕｔ．
（わしが留守にしている間、そこの壺に触るんじゃないぞ。覚えておくように。）
という文があります。

この ｔｏｕｃｈ を ロングマン英英辞典 で引いてみると、その 類義語 ｆｅｅｌ、ｈａｎｄｌｅ、ｆｉｎｇｅｒ、ｒｕｂ、ｓｃｒａｔｃｈ、ｔｉｃｋｌｅ との違いについて、

● ｔｏｕｃｈ
　ｔｏ　ｐｕｔ　ｙｏｕｒ　ｆｉｎｇｅｒｓ　ｏｒ　ｈａｎｄ　ｏｎｔｏ　ｓｏｍｅｏｎｅ　ｏｒ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇｂ　ｆｏｒ　ａ　ｖｅｒｙ　ｓｈｏｒｔ　ｔｉｍｅ

　Ｄｏｎ’ｔ　ｔｏｕｃｈ　ｔｈｅ　ｉｒｏｎ－ｉｔ’ｓ　ｈｏｔ！
（とても短い時間、人または物に指や手を置くこと。そのアイロンに触らないで、熱いわよ）

● ｆｅｅｌ
　ｔｏ　ｔｏｕｃｈ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｙｏｕｒ　ｆｉｎｇｅｒｓ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｏｕｔ　ａｂｏｕｔ　ｉｔ

　Ｆｅｅｌ　ｈｏｗ　ｓｏｆｔ　ｔｈｉｓ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｉｓ．
（何かについて知るため指でそれに触ること）

● ｈａｎｄｌｅ
　ｔｏ　ｔｏｕｃｈ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ａｎｄ　ｐｉｃｋ　ｉｔ　ｕｐ　ａｎｄ　ｈｏｌｄ　ｉｔ　ｉｎ　ｙｏｕｒ　ｈａｎｄｓ

　Ｃｈｉｌｄｒｅｎ　ｓｈｏｕｌｄ　ａｌｗａｙｓ　ｗａｓｈ　ｔｈｅｉｒ　ｈａｎｄｓ　ｂｅｆｏｒｅ　ｈａｎｄｌｉｎｇ　ｆｏｏｄ．
（手で物に触れたり、つまんだり、握ったりすること。子供はいつも手を洗うべきだ。特に食べ物に触る前に。）

● ｆｉｎｇｅｒ
　ｔｏ　ｔｏｕｃｈ　ｏｒ　ｈａｎｄｌｅ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｙｏｕｒ　ｆｉｎｇｅｒｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｗｈｉｌｅ　ｙｏｕ　ａｒｅ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｏｆ　ｏｔｈｅｒ　ｔｈｉｎｇｓ

　Ｓｈｅ　ｆｉｎｇｅｒｅｄ　ｔｈｅ　ｈｅａｖｙ　ｎｅｃｋｌａｃｅ　ａｒｏｕｎｄ　ｈｅｒ　ｎｅｃｋ．
（特に他のことを考えながら、指で何かを触ったり握ったりすること。彼女はつけていた重いネックレスに触れた）

● ｒｕｂ
　ｔｏ　ｍｏｖｅ　ｙｏｕｒ　ｈａｎｄ　ｏｖｅｒ　ａ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｗｈｉｌｅ　ｐｒｅｓｓｉｎｇ　ｉｔ

　Ｂｏｂ　ｒｕｂｂｅｄ　ｈｉｓ　ｅｙｅｓ　ａｎｄ　ｙａｗｎｅｄ．
（表面を押しながら手を動かすこと。ボブは目をこすってあくびした）

● ｓｃｒａｔｃｈ
　ｔｏ　ｒｕｂ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｙｏｕｒ　ｂｏｄｙ　ｗｉｔｈ　ｙｏｕｒ　ｎａｉｌｓ， ｏｆｔｅｎ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｉｔ　ＩＴＣＨＥＳ

　Ｔｈｅ　ｄｏｇ　ｋｅｐｔ　ｓｃｒａｔｃｈｉｎｇ　ｉｔｓ　ｅａｒ．
（しばしば体のどこかのかゆみのため、爪でそこをこすること。その犬は耳をかき続けていた）

● ｔｉｃｋｌｅ
　ｔｏ　ｍｏｖｅ　ｙｏｕｒ　ｆｉｎｇｅｒｓ　ｌｉｇｈｔｌｙ　ｏｖｅｒ　ｓｏｍｅｏｎｅ’ｓ　ｂｏｄｙ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｍａｋｅ　ｔｈｅｍ　ｌａｕｇｈ

　Ｔｈｅ　ｂａｂｙ　ｇｉｇｇｌｅｄ　ａｓ　Ｉ　ｔｉｃｋｌｅｄ　ｈｉｍ．
（笑わせるために人の体に触れた指を軽く動かすこと。くすぐったらその赤ちゃんはげらげら笑った）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最大値を足し合わせた値をＭとする。

同様に、１以上１０００以下の整数からなる組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべてについて、
ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚ
の最小値を足し合わせた値をｍとする。

このとき、Ｍ－ｍの正の約数の個数を求めよ。」
です。

３つの実数をＡ、Ｂ、Ｃとしたとき、例えば下の図の場合、ｌＡ－Ｂｌ、ｌＢーＣｌ、ｌＣ－Ａｌは、それぞれＡＢ間の長さ、ＢＣ間の長さ、ＣＡ間の長さを表し、これらのなかの最大値がＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になり、さらに残りの２つ和もＡ、Ｂ、Ｃの最大値と最小値の差になります。


したがって、

が成り立ちます。

このことから、３つの整数ｘｙ＋ｚｗ、ｘｚ＋ｙｗ、ｘｗ＋ｙｚの最大値と最小値の差ｄ1は、

で、したがって、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ１の和になります。

また、１≦ｘ、ｙ、ｚ、ｗ≦１０００から、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｌｘ－ｗｌｌｙ－ｚｌの和とｌｘ－ｙｌｌｚ－ｗｌの和とｌｘ－ｚｌｌｗ－ｙｌの和は等しくなり、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍは（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組についてのｄ2の和になります。

さらに、ｌｘーｗｌ＝ｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）またはーｘ＋ｗ（ｘ＞ｗ）、ｌｙ－ｚｌ＝ｙーｚ（ｙ＞ｚ）または－ｙ＋ｚ（ｙ＜ｚ）なので、（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組について、ｌｘ－ｗｌとｌｙ－ｚｌの組はそれぞれｘ－ｗ（ｘ＞ｗ）とｙ－ｚ（ｙ＞ｚ）の組の２倍になり（ｘ＝ｗ、ｙ＝ｚのときはＭ、ｍの和に寄与しません）、したがって、

としたとき、Ｍ－ｍはｘ＞ｗ、ｙ＞ｚを満たす（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）すべての組のｄ３についての和になります。

ここで、ｘ＞ｗを満たすｘ－ｗの組は、
ｘ－ｗ＝１ → ９９９組
　　　＝２ → ９９８組
　　　　・
　　　　・
　　　　・
　　　＝９９９ → １組
で、これは、ｙ－ｚについても同様です。

したがって、（ここから一気にいきます）

です。

したがって、Ｍ－ｍの約数の個数は、
（５＋１）×（５＋１）×（６＋１）×（２＋１）×（２＋１）×２＋１）×（２＋１）
＝６×６×７×３×３×３×３＝ ２０４１２（個） で、これが答えです。


Σを使えば簡潔になります。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３教科書の巻末にある「いろいろな単語」のなかに、
ｗｒｉｔｅ　ｍｙ　ｄｉａｒｙ
（日記を書く）
という言葉があります。



この ｄｉａｒｙ を ウィズダム英和辞典 で引いてみたところ、

● ｋｅｅｐ [ｗｒｉｔｅ]　ａ　ｄｉａｒｙ　日記をつけている
　一定期間の習慣的行為を意味する； ｗｒｉｔｅ より ｋｅｅｐ の方がよくつかわれる

とあり、 Ｇｏｏｇｌｅ　Ｎｇｒａｍ　Ｖｉｅｗｅｒ で調べた結果も、
ｋｅｅｐ　ａ　ｄｉａｒｙ ： ｗｒｉｔｅ　ａ　ｄｉａｒｙ ＝ ７ ： １
と ｋｅｅｐ　ａ　ｄｉａｒｙ が優勢でした。

また、個々の出来事などを日記に書きこむ場合には、
ｗｒｉｔｅ　Ａ 　ｉｎ　ｏｎｅ’ｓ　ｄｉａｒｙ
とするそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐ、Ｑがあり、三角形ＡＣＰの垂心と三角形ＡＢＱの垂心は一致している。ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＰ＝５、ＣＱ＝６のとき、辺ＢＣの長さを求めよ。
ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

△ＡＢＣは、ＡＢ＝１０、ＡＣ＝１１、ＢＣ≧ＣＱ＝６なので、∠Ｂ，∠Ｃ＜９０°になり、このとき、Ａから辺ＢＣに下した垂線の足をＤとすると、辺ＢＣ上のＰ、Ｑ、Ｄの位置関係は、図１ー１のように、
Ｂ－Ｐ－Ｑ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｐ－Ｑ－Ｃ
と並ぶ場合と、図１－２のように、
Ｂ－Ｑ－Ｐ－Ｄ－Ｃ
Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃ
Ｂ－Ｄ－Ｑ－Ｐ－Ｃ
と並ぶ場合があります。（図では、△ＡＣＰ、△ＡＢＱの垂心をそれぞれＨCとＨBで表しました）



これらの図１－１、２の両端の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形と鈍角三角形になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、△ＡＣＰの垂心ＨCと△ＡＢＱの垂心ＨBは、辺ＢＣの上側と下側に分かれ、２つの垂心が一致することはありません。

これに対して、２つの図の中央の場合、２つの三角形の組合せが鋭角三角形同士または鈍角三角形同士になり、それぞれの垂心が三角形の内部と外部に存在することになります。

ここでは、ＨBとＨCは、辺ＢＣの上側または下側のどちらかになり、２つの垂心が一致する可能性があります。

つまり、図１ー１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合と、図１－２の中央のようにＢ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃと並んだ場合の２つの場合を調べる必要があることになるのですが、実は、これらの２つの場合の辺ＢＣの長さは同じになります。

そこで、ここでは図１－１の中央のようにＢ－Ｐ－Ｄ－Ｑ－Ｃと並んだ場合を調べていきます。（Ｂ－Ｑ－Ｄ－Ｐ－Ｃの場合も以下の方法で解けます）

初めに図２のように、問題の図を描きました。


ここで図３のように、Ａから下した垂線の足をＤ、△ＡＣＰと△ＡＢＱの垂心をＨ、ＰＨとＡＣの交点をＥ、ＱＨとＡＢの交点をＦとします。


すると図４に示すように、∠ＡＤＢ＝∠ＱＤＨ、∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝∠ＢＱＦ＝∠ＨＱＤから、△ＡＢＤ∽△ＱＨＤです。


したがって、

が成り立ちます。

一方、図５に示すように、∠ＡＤＣ＝∠ＰＤＨ、∠ＣＡＤ＝９０°－∠Ｃ＝∠ＣＰＥ＝∠ＨＰＤから、△ＡＣＤ∽△ＰＨＤです。


したがって、

が成り立ちます。

すると（１）と（２）から

になります。

このとき、直角三角形ＡＢＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

さらに、直角三角形ＡＣＤに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入し整理して、

を得ます。

ここで、（４）－（３）から

になり、したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１教科書の「テレビ番組」と題するリスニングのコーナーに、
ｓｔｏｍｐ　ｔｈｅｉｒ　ｆｅｅｔ
（足をふみならす）
という言葉があります。

この ｓｔｏｍｐ を オックスフォード現代英英辞典 で引いてみると、

● （ｉｎｆｏｒｍａｌ） ｔｏ　ｗａｌｋ， ｄａｎｃｅ， ｏｒ　ｍｏｖｅ　ｗｉｔｈ　ｈｅａｖｙ　ｓｔｅｐｓ

　Ｓｈｅ　ｓｔｏｍｐｅｄ　ａｎｇｒｉｌｙ　ｏｕｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｆｆｉｃｅ．

　Ｔｈｅ　ｃｈｉｌｄｒｅｎ　ｗｅｒｅ　ｓｔｏｍｐｉｎｇ　ａｒｏｕｎｄ　ｎｏｉｓｉｌｙ．
（くだけた語、ドタドタ歩いたり、踊ったり、動いたりすること。彼女は足音荒くオフィスから出て行った。子供たちが騒々しくドタドタと走り回っている）

と説明していて、その 語源 については、

● ｅａｒｌｙ　１９ｔｈ　ｃｅｎｔ．（ｏｒｉｇｉｎａｌｌｙ　ＵＳ　ｄｉａｌｅｃｔ）：ｖａｒｉａｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｒｂ　ｓｔａｍｐ
（１９世紀初めに入ってきた。元々はアメリカ方言で、動詞ｓｔａｍｐが変化したもの）

と記しています。



ちなみに 日米口語辞典 には、「地元」の意の
ｏｎｅ’ｓ　ｓｔｏｍｐｉｎｇ　ｇｒｏｕｎｄｓ
という言葉が載っていて、これは、
「自分の足で踏み固めた土地」→「慣れた土地」、「勝手知ったる場所」
ということだそうです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「正の整数ｎに対して、正の整数ｍであってｍとｎが互いに素であり、ｍ＋１とｎ＋１も互いに素となるようなもののうち最小のものをｆ（ｎ）で表す。このとき、

のうちに現れる正の整数は何種類あるか。」
です。

素数を小さい順に、
ｐ1，ｐ2，・・・，ｐk，・・・，ｐl　
（ｋ、ｌは正の整数、ｋ≦ｌ）
として、

とします。

このとき、αxは整数で、
α1，α2，・・・，αk-1≧１
αk＝０
αk+1，・・・，αl≧０
です。（つまり、ｐkがｎ＋１の約数ではない最小の素数になります）

初めに、
１≦ｍ＜ｐk－１
を満たすｍを調べます。

上記の不等式の各辺に１を加えると、
２≦ｍ＋１＜ｐk
になり、これからｍ＋１はｐkより小さい素数ｐrを因数にもちます。

このとき、ｐrはｐ1、ｐ2、・・・、ｐk-1のいずれかで、するとｐrはｎ＋１の約数になり、ｎ＋１とｍ＋１は互いに素ではありません。

したがって、条件を満たすｍは、
ｍ≧ｐk－１
になり、
ｆ（ｎ）≧ｐk－１　　　（★）
です。

次に、
ｐk－１＜ｐk
から、ｐk－１の約数は ｐ1、ｐ2、・・・ｐk-1 のいずれかなので、

と表すことができます。

このとき、βxは整数で、
β1，β2，・・・，βk-1≧０
です。

すると、

から、ｎとｐk－１は互いに素で、さらに、

から、ｎ＋１とｐkも互いに素になります。

これは、ｐk－１はｍの条件を満たす整数であることを示していて、このとき（★）から、ｐk－１がｍの最小値になるので、
ｆ（ｎ）＝ｐk－１
であることが判りました。

続いて、

について、最大になるｐkを求めます。

そこで、素数を小さい方から順に掛け合わせいくと、

から、ｐkの最大値は３１です。
（２から３１までの素数を１つずつ掛け合わせた積が

を超えるので、

以下の整数のなかに２から３１までのすべての素数で割り切れるものはありません）

したがって、ｐkがとりうる値は、
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１
の１１種類で、これらのそれぞれについて、条件を満たす最小のｍ、つまり、ｆ（ｎ）が、
１、２、４、６、１０、１２、１６、１８、２２、２８、３０
になるようなｎが存在することを確かめればお仕舞です。


のとき、ｎ＋１と互いに素になる最小のｍ＋１は３１で、したがって、

です。

同様に、

になり、１１種類のｆ（ｎ）に対して、

が存在します。

以上から、

に現れる正の整数は １１ 種類 で、これが答えです。


簡単な問題です。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２の教科書に、
Ｉ　ａｍ　ｆｒｏｍ　Ｃａｍｂｏｄｉａ．
（私はカンボジア出身です）
という文があります。

この Ｃａｍｂｏｄｉａ の 語源 を ＯＮＬＩＮＥ　ＥＴＹＭＯＬＯＧＹ　ＤＩＣＴＩＯＮＡＲＹ で調べてみると、

● Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ａｓｉａｎ　ｎａｔｉｏｎ， ｔｈｅ　ｎａｍｅ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｆｒｏｍ　Kａｍｂｕ， ｌｅｇｅｎｄａｒｙ　ａｎｃｅｓｔｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｅｏｐｌｅ．
（東南アジアの国家で、国名は民族の伝説上の祖先Ｋａｍｂｕに由来すると言われている）

とありました。

ちなみに、同じ東南アジアにある タイ と ベトナム は、

● Ｔｈａｉ
　１８０８， ｎａｔｉｖｅ　ｎａｍｅ， Ｔａｉ， ｌｉｔｅｒａｌｌｙ　“ｆｒｅｅ．”
（１８０８年（？），「自由」を意味する現地民族名Ｔａｉに由来する）
（＊１９３９年にシャム（Ｓｉａｍ）から Ｔｈａｉ　ｌａｎｄに改称しました）

● Ｖｉｅｔｎａｍ
　ｃｏｕｎｔｒｙ　ｉｎ　Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ａｓｉａ， ｆｒｏｍ　Ｖｉｅｔｎａｍｅｓｅ　Ｖｉｅｔ， ｔｈｅ　ｐｅｏｐｌｅ’ｓ　ｎａｍｅ ＋ ｎａｍ　“ｓｏｕｔｈ．”
（東南アジアの国で、国名は、民族名のベトナム語 Ｖｉｅｔ と「南」の意の ｎａｍ を組み合わせたもの）


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「黒板に３つの相異なる正の整数が書かれている。黒板に実数ａ、ｂ、ｃが書かれているとき、それぞれを
　
に同時に書き換えるという操作を考える。この操作を２０２１回行ったところ、最後に黒板に書かれた３つの数はすべて正の整数だった。このとき、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

最初に書かれていた３つの相異なる正の整数を ａ0、ｂ0、ｃ0 とします。このとき、対称性から １≦ａ0＜ｂ0＜ｃ0 としても一般性は失いません。

また、１以上２０２１以下の整数ｎについて、ｎ回目の操作後に黒板に書かれている数をａn、ｂn、ｃn とすると、

が成り立ち、これらの式の辺々を足し合わせると、

になり、したがって、

で、これらから、

になります。ここで、最初に書かれていた３つの正の整数の和をｓとしました。

続いて（２）を（１）に代入すると、

になり、これらの漸化式を解くと、

です。

ここで（４）から ｂn－ａn、ｃn－ａn をつくり、さらにｎ＝２０２１とすると、

で、これらから、

になります。

一方（５）から、

になり、このとき ａ2021、ｂ2021 はともに整数なので、

です。

さらに（５）から

になり、このとき ａ2021、ｃ2021 はともに整数なので、

です。

すると、ａ≧１ 、（６）（７）（８）から、

が成り立ちます。

ここから、

のとき、（６）の不等式の等号が成り立ち、かつ、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 が正の整数になるかを調べます。


なので、（６）の不等式の等号は成り立ちます。

また（４）から、

で、ａ2021、ｂ2021、ｃ2021 は正の整数になり、与えられた条件を満たします。

以上から、最初に書かれていた３つの正の整数の和としてありうる最小の値は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中３の教科書に、
Ｉ’ｍ　ｓｕｒｅ　ｈｅ　ｄｏｅｓ．
（彼は〈僕の電話番号を〉知っています）
という文があります。

この Ｉ’ｍ　ｓｕｒｅ （ｔｈａｔ）～ について、 ロイヤル英文法 に、

● ｓｕｒｅ の主語は「人」で、 Ｉｔ　ｉｓ　ｓｕｒｅ （ｔｈａｔ）～ はふつう容認されない。これに対して、 ｃｅｒｔａｉｎ の主語は「人、事柄」なのが原則なので、 Ｉｔ　ｉｓ　ｃｅｒｔａｉｎ （ｔｈａｔ）～ も Ｉ’ｍ　ｃｅｒｔａｉｎ（ｔｈａｔ）～も正しい

と説明してます。

すると、
　Ｉ’ｍ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｈｅ　ｄｏｅｓ．
　Ｉｔ　ｉｓ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｈｅ　ｄｏｅｓ．
は、教科書の英文と同じような意味を表すことになりますが、 ｓｕｒｅ と ｃｅｒｔａｉｎ との違いについて ウィズダム英和辞典 に、

● ｓｕｒｅ と ｃｅｒｔａｉｎ はどちらも主語の確信や話し手の確信を表すが、ｃｅｒｔａｉｎ の方が 確信度が高く、 ｓｕｒｅ は 主観的確信 を、 ｃｅｒｔａｉｎ は 客観的確信 を示す際に好まれる

と記しています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「ＡＢ＝ＡＣなる二等辺三角形ＡＢＣの内部に点Ｐをとり、Ｐから辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢにおろした垂線の足をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとする。


ＢＤ＝９、ＣＤ＝５、ＰＥ＝２、ＰＦ＝５のとき、辺ＡＢの長さを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

どうでもよいことなのですが、問題図の線分の長さの比をより正確に作図すると図１のようになったので、これを使って進めていきます。


図２のように、ＡからＢＣにおろした垂線の足をＨ、Ｐを通りＢＣと平行な直線とＡＣ、ＡＢ、ＡＨとの交点をそれぞれＱ、Ｒ、Ｓとします。


このとき、Ｈは線分ＢＣの中点なので、
ＣＨ＝７
になり、したがって、
ＤＨ＝２
です。

一方、△ＰＦＲ∽△ＰＥＱでその相似比は５：２なので、
　ＰＲ：ＰＱ＝５：２
→ＰＲ：ＱＲ＝５：７
で、さらにＳは線分ＱＲの中点なので、

になり、したがって、

が成り立ちます。

するとＰＳ＝ＤＨ＝２から、図３のように、

になります。


そこで、直角三角形ＰＦＲに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入して整理すると、

です。

あとは△ＡＢＨ∽△ＰＲＦを利用して、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中１の教科書に、
Ｉ　ｌｉｋｅ　ｙｏｕｒ　ｂｅｌｔ．
（私、あなたのベルト好きよ）
という文があります。

日本語 では、ズボンの ベルト を バンド（ｂａｎｄ） とも言いますが 、これらを ロングマン英英辞典 で調べてみると、

● ｂｅｌｔ
　ａ　ｂａｎｄ　ｏｆ　ｌｅａｔｈｅｒ， ｃｌｏｔｈ　ｅｔｃ　ｔｈａｔ　ｙｏｕ　ｗｅａｒ　ａｒｏｕｎｄ　ｙｏｕｒ　ｗａｉｓｔ　ｔｏ　ｈｏｌｄ　ｕｐ　ｙｏｕｒ　ｃｌｏｔｈｅｓ　ｏｒ　ｆｏｒ　ｄｅｃｏｒａｔｉｏｎ
（服がずり下がらないようするため、または飾りのために腰に巻く革や布などの帯）

● ｂａｎｄ
　ａ　ｎａｒｒｏｗ　ｐｉｅｃｅ　ｏｆ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｏｎｅ　ｅｎｄ　ｊｏｉｎｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ　ｔｏ　ｆｏｒｍ　ａ　ｃｉｒｃｌｅ
（細い物の端と端をつないで輪にした物）

と説明していて、ズボンの ベルト を ｂａｎｄ とは言わないようです。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「下図のような正十角形がある。


全体の面積が１のとき、斜線部の面積を求めよ。」
です。

図１のように、正十角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、ＣＨとＤＩの交点をＯ、ＡＤとＢＥの交点をＫ、ＢＤとＣＫの交点をＬとし、左側の図の斜線部の図形をその面積が等しい図形に変形していきましょう。


● 左側の図→中央の図
△ＧＨＩ≡△ＢＣＤから、左側の図の斜線部の図形の面積と中央の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

● 中央の図→右側の図
ＡＤ//ＢＣ、ＢＥ//ＣＤ、ＢＣ＝ＣＤから四角形ＢＣＤＫはひし形です。

すると△ＢＣＬ≡△ＤＫＬから、△ＢＣＤの面積と△ＣＤＫの面積は等しく、したがって、中央の図の斜線部の図形の面積と右側の図の斜線部の図形の面積は等しくなります。

このとき、対角線ＣＨは正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪの対称の軸なので、
ＣＨ⊥ＢＤ
で、一方、ひし形ＢＣＤＫの対角線は垂直に交わるので、
ＣＫ⊥ＢＤ
になり、したがって、ＫはＣＨ上に存在します。

あとは図２のように、新しく作った図形を、正十角形の隣り合う２つの頂点とOを結んでできる、その面積が０．１の４つの三角形に分割すればお仕舞です。このとき、四角形ＡＫＯＪは平行四辺形なので、△ＯＡＪ≡△ＡＯＫです。


以上から、問題に与えられた図の斜線部の面積は ０．１×４＝ ０．４ で、これが答えです。


簡単な問題です。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

中２教科書の 比較構文 の文法のまとめに、「最上級 でのｉｎ と ｏｆ の使い分け」について、
● 「・・・の中で最も[いちばん]」というときは、 ｉｎ/ｏｆ を使う
・ ｉｎ ～
　（集団や地域などの中で）
　 ｉｎ　ｏｕｒ　ｃｌａｓｓ、ｉｎ　Ｊａｐａｎ、ｉｎ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ

・ ｏｆ ～
（比較されるものの中で）
　 ｏｆ　ａｌｌ、ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｒｅｅ
と説明しています。

それでは ｆａｍｉｌｙ の場合は ｉｎ/ｏｆ のどちらを使うのかということが気になりますが、これについては 、ロイヤル英文法 に、
● 所属関係を重視すれば ｏｆ、 範囲の限定 ならば ｉｎ になり、

　Ｊａｃｋ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｙｏｕｎｇｅｓｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆａｍｉｌｙ．
（ジャックは家族の中で一番若かった）

　Ｅｎｄａ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｙｏｕｎｇｅｓｔ　ｉｎ　ｈｅｒ　ｆａｍｉｌｙ．
（エンダは彼女の家族の中で最も若かった）
のように、ｏｆ も ｉｎ も可能と記しています。

ただし、イギリス英語、アメリカ英語のどちらも ｉｎ の用例がはるかに多く、これは、一般に英語では、所属関係 よりも 場所[範囲]の表現 のほうが好まれるからと言われているからだそうで、さらに、人物紹介によく見られる
　Ｅｄｗａｒｄ　ｗａｓ　ｔｈｅ　ｅｌｄｅｓｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆａｍｉｌｙ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ　ｓｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｗｏ　ｄａｕｇｈｔｅｒｓ　ｏｆ　Ｊｏｈｎ　Ｂａｙｔｏｎ　ａｎｄ　ｈｉｓ　ｗｉｆｅ　Ｊａｂｅ．
（エドワードはジョン・ベイントンと妻ジェイブの３人の息子と２人の娘の中で最年長だった）
ようなの場合は ｉｎ が普通としています。


頭に入れておくと役に立つこともあるかもしれません。

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２１年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「互いに素な正の整数ｍ、ｎが ｍ＋ｎ＝９０ をみたすとき、積 ｍｎ としてありうる最大の値を求めよ。」
です。

ｍとｎの対称性から ｍ≧ｎ としても一般性を失いません。

そこで、

とすると、 ｍｎ が最大の値をとるのは、
・ ｍ＝４５のとき
　 ｎ＝４５になり、ｍとｎは互いに素でないので条件をみたしません

・ ｍ＝４６のとき
　 ｎ＝４４になり、ｍとｎは互いに素でないので条件をみたしません

・ ｍ＝４７のとき
　 ｎ＝４３になり、ｍとｎは互いに素なので条件をみたします
から、ｍ＝４７、ｎ＝４３のときです。

したがって、積 ｍｎ としてありうる最大の値は ４７×４３＝ ２０２１ で、これが答えです。


簡単な問題です。