はじめに

現代の素粒子論とは超弦理論と言ってもよいほどに超弦理論が主流となっている。本ブログでもこれを攻略してみようと思う。 しかし,超弦理論は高度な数学を必要としており,専門外の人間が理解するのは非常に困難とされている。しかし, 難しい学問を最短経路で理解できる解説書シリーズ"Demystified"シリーズにいよいよ超弦理論が登場した。本ブログでは David MacMahon著”String Theory Demystified"を解説しようと思う。本書で十分でないと感じた部分は,適宜他書を 参照することにした。参考文献は適宜示すこととする。

第2章The Classical String I: Equation of Motion

本章では,古典的な相対論的点粒子の運動方程式から出発して,弦の古典的な性質を解説する。

相対論的点粒子

本書では,Minkowski計量を \begin{equation} \eta_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cccc} -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{array} \right)\label{eq:msd:2.2} \end{equation} とする。$4$次元から一般の$d$次元に拡張したときも,時間部分は$-1$,空間部分は$+1$とする。

このような約束の下,ローレンツ不変な距離は \begin{equation} (X^{\mu})^{2}=\eta_{\mu\nu}X^{\mu}X^{\nu}=-(X^{0})^{2}+(X^{1})^{2}+\cdots+(X^{d})^{2}\label{eq:msd:2.3} \end{equation} とかける。$d$次元時空内の微小距離は \begin{equation} ds^{2}=-\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}=(dX^{0})^{2}-(dX^{1})^{2}-\cdots-(dX^{d})^{2}\label{eq:msd:2.4} \end{equation} とかける。したがって,$ds=\sqrt{-\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}}$は時間的な場合実数となる。

作用原理とは,自由な相対論的粒子の運動はその不変距離に比例するというものである。すなわち, \begin{equation} S=-\alpha\int ds\label{eq:msd:2.5} \end{equation} である。この比例定数$\alpha$が何なのかを考えていこう。そのために,作用$S$の単位は量子論における物理量の単位である$\hbar$と同じ である。$[\cdot]$で単位を表すことにすると,$(\ref{eq:msd:2.5})$は \begin{equation} \frac{[M][L^{2}]}{[T]}=[\alpha][L]\nonumber \end{equation} ということになる。よって,$\alpha$の単位は \begin{equation} [\alpha]=\frac{[M][L]}{[T]}\nonumber \end{equation} となる。

これは, \begin{equation} \alpha = \frac{m}{c}\nonumber \end{equation} を示している。さらに自然単位系$\hbar=c=1$をとると,作用は無次元になるため \begin{align} \begin{split} \alpha&=& m\\ \Rightarrow[\alpha]&=& [M] = \frac{1}{[L]} \end{split} \label{eq:msd:2.7} \end{align} となる。

以上から,$\alpha$は定まって \begin{equation} S=-m\int\sqrt{-\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}}\label{eq:msd:2.8} \end{equation} を得る。平方根の中に$dX^{\mu}dX^{\nu}$があるというのは都合が悪いので,固有時$\tau$を使ってこれをかきなおそう。 \begin{eqnarray} \sqrt{-\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}}&=& \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\left(\frac{d\tau}{d\tau}\right)^{2}dX^{\mu}dX^{\nu}}\nonumber\\ &=& d\tau\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}}=d\tau\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}} \nonumber \end{eqnarray} 以上から,作用は \begin{equation} S=-m\int d\tau\sqrt{-\eta_{\mu\nu}d\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}}\label{eq:msd:2.9} \end{equation} となる。この被積分関数をラグランジアンと呼ぶ。

時空内の弦

時空を運動する点粒子の軌跡は$1$本の曲線をなす。弦理論の基本的なアイデアは,微小な弦の運動が物質の根本であるということである。したがって, 微小な弦が時空を運動する軌跡は曲面をなす。これを世界面(World Sheet)という。この弦が閉じている場合,世界面は筒状の曲面をなす。 世界面は$2$次元なので,$2$つのパラメータで特徴付けられる。これを$\xi_{1},\xi_{2}$とする。どのようなパラメータを選べばよいかという問題だが, 時間方向のパラメータに固有時を選ぶのが適当と思われる。そうすると,もう$1$つは空間方向のパラメータを選ぶ。すなわち \begin{align} \xi_{1}&=\tau&\xi_{2}&=\sigma\nonumber \end{align} とする。世界面上の座標$(\tau,\sigma)$を時空への写像 \begin{equation} X^{\mu}(\tau,\sigma)\label{eq:msd:2.12} \end{equation} とする。これをstring coordinateという。これを$(d+1)$次元時空に拡張して \begin{equation} \{X^{0}(\tau,\sigma),X^{1}(\tau,\sigma),\ldots,X^{d}(\tau,\sigma)\}\nonumber \end{equation} となる。

では,作用$(\ref{eq:msd:2.8})$を$(d+1)$次元時空を運動する弦に拡張しようとするわけだが,点粒子に立ち戻って考えてみよう。 作用は点粒子が運動する軌跡のなす曲線の長さに比例していた。これを$2$次元に拡張しようとすると,作用は世界面の面積に比例する と考えるのが妥当だろう。$dA$を世界面の微小面積要素とすると, \begin{equation} S=-T\int dA\label{eq:msd:2.13} \end{equation} とかける。$T$は後でわかることだが,弦の張力である。さて,$dA$は何なのかと考えてみると微小線素から出発しよう。 \begin{eqnarray} ds^{2}&=&-\eta_{\mu\nu}dX^{\mu}dX^{\nu}\nonumber\\ &=&-\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\xi^{\alpha}}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\xi^{\beta}}d\xi^{\alpha}d\xi^{\beta}\nonumber \end{eqnarray} ここで,世界面上の誘導計量(induced metric)を定義しよう。これは \begin{equation} \gamma_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\xi^{\alpha}}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\xi^{\beta}}\label{eq:msd:2.14} \end{equation} この計量は世界面上の距離を決定する。この計量は背景時空の定義から誘導されたものと考えられる。それ故に誘導計量というのである。では, 誘導計量を計算してみよう。 \begin{align} \dot{X}^{\mu}&=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\tau}& X^{\mu\prime}&=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}\nonumber \end{align} とかくと,誘導計量は \begin{align} \begin{split} \gamma_{\tau\tau}&=&\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\tau}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\tau}=\dot{X}^{2}\nonumber\\ \gamma_{\sigma\tau}&=&\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\tau}=\dot{X}\cdot X^{\prime} =\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial \tau}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\sigma}\nonumber\\ \gamma_{\sigma\sigma}&=&\eta_{\mu\nu}\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\sigma}=X^{\prime 2}\nonumber \end{split} \label{eq:msd:2.15} \end{align} となる。$(\ref{eq:msd:2.15})$を使うと \begin{equation} \gamma_{ab}=\left( \begin{array}{cc} \dot{X}^{2}&\dot{X}\cdot X^{\prime}\\ \dot{X}\cdot X^{\prime}& X^{\prime 2} \end{array} \right)\label{eq:msd:2.16} \end{equation} を得る。この行列の行列式を求めよう。 \begin{equation} \gamma=\det\gamma_{ab}=\dot{X}^{2}X^{\prime 2}-(\dot{X}\cdot X^{\prime})^{2}\label{eq:msd:2.17} \end{equation} 最初の \begin{equation} S=-T\int dA\nonumber \end{equation} 戻ってみよう。一般に計量$G_{\alpha\beta}$が与えられたときの微小面積要素は \begin{equation} dA=\sqrt{-\det G_{\alpha\beta}}d^{2}\xi\nonumber \end{equation} で与えられる。我々の場合では誘導計量を使うと$dA=\sqrt{-\gamma}d\tau d\sigma$である。よって,作用は \begin{equation} S=-T\int_{\tau_{i}}^{\tau_{f}}d\tau\int_{0}^{\ell}d\sigma\sqrt{-\gamma}\label{eq:msd:2.18} \end{equation} とかける。$(\ref{eq:msd:2.17})$を使うと \begin{equation} S=-T\int_{\tau_{i}}^{\tau_{f}}d\tau\int_{0}^{\ell}d\sigma\sqrt{(\dot{X}\cdot X^{\prime})^{2}-\dot{X}^{2}X^{\prime 2}}\label{eq:msd:2.19} \end{equation} を得る。$(\ref{eq:msd:2.18}),(\ref{eq:msd:2.19})$に現れる作用を南部-後藤作用という。

Polyakov作用

南部-後藤作用は平方根が入っているので,その後の議論が面倒である。そこで,南部-後藤作用と等価なPolyakov作用を使う。この作用を 発見したのはPolyakovではなく,Brink,Di Vecchia, Howe, Deser, Zuminoらによって発見された。Polyakovはこの作用の経路積分量子化 に成功したため,このように呼ばれる。Polyakov作用は \begin{equation} S_{\mathrm{P}}=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma\sqrt{-h}h^{ab}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} \label{eq:msd:2.27} \end{equation} という形をしている。$h^{ab}$は世界面上の独立な計量で$(-,+)$の符号を持っているものとする。これが,南部-後藤作用と等価である ことを確認するために,作用を計量$h^{ab}$で変分してみる。計量について変分する場合,公式 \begin{equation} \delta h=hh^{ab}\delta h_{ab}=-hh_{ab}\delta h^{ab}\label{eq:msd:P1.2.15} \end{equation} を使う。そうすると, \begin{equation} \delta_{\gamma}S_{\mathrm{P}}=-\frac{T}{2}\int d\tau d\sigma\sqrt{-h}\delta h^{ab}\left(\gamma_{ab}-\frac{1}{2}h_{ab}h^{cd}\gamma_{cd}\right) \label{eq:msd:P1.2.14} \end{equation} を得る。$\delta_{\gamma}S_{\mathrm{P}}=0$という条件をつけると \begin{equation} \gamma_{ab}=\frac{1}{2}h_{ab}h^{cd}\gamma_{cd}\label{eq:msd:P1.2.16} \end{equation} を得る。これは,スカラー関数$A(x)$が存在して \begin{equation} h_{ab}=A(x)\gamma_{ab}\nonumber \end{equation} であることを意味している。というわけで,計量$h_{ab}$は誘導計量$\gamma_{ab}$に比例することがわかった。よって,Polyakov作用から$h_{ab}$を消去できて \begin{equation} S_{\mathrm{P}}\rightarrow -T\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}=S_{\mathrm{NG}}\nonumber \end{equation} と南部-後藤作用と等価であることがわかる。

(どういう理由かよくわからないが)世界面のオイラー標数$\chi=0$のときは,パラメータをうまく選ぶと \begin{equation} h_{ab}=\left( \begin{array}{cc} -1& 0\\ 0& 1 \end{array} \right)\label{eq:msd:2.30} \end{equation} とできる。こうすると \begin{equation} h^{ab}\partial_{a}X\cdot\partial_{b}X=-\partial_{\tau}X\cdot\partial_{\tau}X+\partial_{\sigma}X\cdot\partial_{\sigma}X =-\dot{X}^{2}+X^{\prime 2}\nonumber \end{equation} となる。よって,Polyakov作用は \begin{equation} S_{\mathrm{P}}=\frac{T}{2}\int d^{2}\sigma(\dot{X}^{2}-X^{\prime 2})\label{eq:msd:2.31} \end{equation} と簡単になる。

例題

Polyakov作用の補助場が平坦な計量であった場合の運動方程式を求めよ。

解答

平坦な計量であった場合, \begin{eqnarray} S_{\mathrm{P}}&=&-\frac{T}{2}\int d^{2}\sigma\sqrt{-h}h^{ab}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}\nonumber\\ &=&-\frac{T}{2}\int d^{2}\sigma(-\partial_{\tau}X\cdot\partial_{\tau}X+\partial_{\sigma}X\cdot\partial_{\sigma}X)\nonumber\\ &=&-\frac{T}{2}\int d^{2}\sigma(-\eta_{\mu\nu}\partial_{\tau}X^{\mu}\partial_{\tau}X^{\nu}+\eta_{\mu\nu}\partial_{\sigma}X^{\mu}\partial_{\sigma}X^{\nu})\nonumber \end{eqnarray} である。よってラグランジアンは \begin{eqnarray} L&=&-\eta_{\mu\nu}\partial_{\tau}X^{\mu}\partial_{\tau}X^{\nu}+\eta_{\mu\nu}\partial_{\sigma}X^{\mu}\partial_{\sigma}X^{\nu}\nonumber\\ &=&-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}+\eta_{\mu\nu}X^{\prime\mu}X^{\prime\nu}\nonumber \end{eqnarray} それ故に \begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial\dot{X}^{\mu}}&=&\frac{\partial}{\partial\dot{X}^{\mu}}\left(-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}+\eta_{\mu\nu}X^{\prime\mu}X^{\prime\nu}\right) =-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^{\nu}=-\dot{X}_{\mu}\nonumber\\ \frac{\partial L}{\partial X^{\prime\mu}}&=&\frac{\partial}{\partial X^{\prime\mu}}\left(-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}+\eta_{\mu\nu}X^{\prime\mu}X^{\prime\nu}\right)=\eta_{\mu\nu}X^{\prime\nu}=X_{\mu}^{\prime}\nonumber \end{eqnarray} となる。Euler-Lagrange方程式は \begin{equation} \partial_{\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{X}^{\mu}}\right)+\partial_{\sigma}\left(\frac{\partial L}{\partial X^{\prime\mu}}\right)=0 \label{eq:msd:2.32} \end{equation} となる。相対論的弦の運動方程式は \begin{equation} \frac{\partial^{2}X_{\mu}}{\partial\tau^{2}}-\frac{\partial^{2}X_{\mu}}{\partial\sigma^{2}}=0\label{eq:msd:2.33} \end{equation} となる。

光円錐座標系

ここで,光円錐座標系を導入しよう。これを導入すると,運動方程式が簡明な形になる。

通常の$(3+1)$次元時空を考えよう。反変ベクトルは \begin{equation} x^{\mu}=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\nonumber \end{equation} である。光円錐座標を \begin{align} x^{+}&=\frac{x^{0}+x^{1}}{\sqrt{2}}& x^{-}&=\frac{x^{0}-x^{1}}{\sqrt{2}}\label{eq:msd:2.34} \end{align} とする。$x^{2},x^{3}$についてはそのままとする。

$(\ref{eq:msd:2.34})$については,逆に \begin{align} x^{0}&=\frac{x^{+}+x^{-}}{\sqrt{2}}& x^{1}&=\frac{x^{+}-x^{-}}{\sqrt{2}}\nonumber \end{align} とできる。Minkowski計量における無限小距離は \begin{equation} ds^{2}=-\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}\nonumber \end{equation} である。よって, \begin{align} dx^{0}&=\frac{dx^{+}+dx^{-}}{\sqrt{2}}& dx^{1}&=\frac{dx^{+}-dx^{-}}{\sqrt{2}}\label{eq:msd:2.35} \end{align} である。これで無限小距離を書き直すと \begin{equation} ds^{2}=2dx^{+}dx^{-}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}\label{eq:msd:2.36} \end{equation} となる。したがって,光円錐Minkowski計量は \begin{equation} \hat{\eta}_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cccc} 0& -1& 0& 0\\ -1& 0 & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1    \end{array} \right)\label{eq:msd:2.37} \end{equation} と定義できる。$(\ref{eq:msd:2.37})$を使うと,無限小距離は \begin{equation} ds^{2}=-\hat{\eta}_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\label{eq:msd:2.38} \end{equation} となる。

ベクトルについても光円錐成分を \begin{align} v^{+}&= \frac{v^{0}+v^{1}}{\sqrt{2}} & v^{-}&= \frac{v^{0}-v^{1}}{\sqrt{2}}\label{eq:msd:2.39} \end{align} と定義できる。そうすると,$2$つのベクトルの内積は \begin{equation} \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=\hat{\eta}_{\mu\nu}v^{\mu}w^{\nu}=v^{\mu}w_{\mu}=-v^{+}w^{-}-v^{-}w^{+}+\sum_{i}v^{i}w^{i}\label{eq:msd:2.40} \end{equation} とできる。ただし,$i=1,\ldots, d-1$である。添字の上げ下げについては \begin{align} v^{+}=-v_{-}& v^{-}&= v_{+}\nonumber \end{align} である。その他のベクトル成分は同じである。

世界面上の光円錐座標は \begin{align} \sigma^{+}&=\tau+\sigma & \sigma^{-}&= \tau - \sigma\label{eq:msd:2.41} \end{align} と定義する。明らかに$d\sigma^{+}=d\tau+d\sigma,d\sigma^{-}=d\tau-d\sigma$なので \begin{equation} ds^{2}=-d\sigma^{+}d\sigma^{-}\label{eq:msd:2.42} \end{equation} である。補助場の計量は \begin{equation} h_{ab}=\left( \begin{array}{cc} 0&-1/2\\ -1/2 & 0 \end{array} \right)\label{eq:msd:2.43} \end{equation} となる。逆行列は \begin{equation} h^{ab}=\left( \begin{array}{cc} 0& -2\\ -2& 0 \end{array} \right)\nonumber \end{equation} である。微分演算子については \begin{align} \partial_{+}&= \frac{\partial_{+}+\partial_{-}}{2}& \partial_{-}&=\frac{\partial_{+} - \partial_{-}}{2}\label{eq:msd:2.44} \end{align} と定義する。これをPolyakov作用 \begin{equation} S_{\mathrm{P}}=-\frac{T}{2}\int d^{2}\sigma\sqrt{-h}h^{ab}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}\nonumber \end{equation} に代入すると \begin{eqnarray} \sqrt{-h}h^{ab}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}&=& -\sqrt{\frac{1}{4}}h^{+-}\partial_{+}X^{\mu}\partial_{-}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} -\sqrt{\frac{1}{4}}h^{-+}\partial_{-}X^{\mu}\partial_{+}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}\nonumber\\ &=&-2\partial_{+}X^{\mu}\partial_{-}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}\nonumber \end{eqnarray} となる。というわけで,光円錐座標系を用いるとPolyakov作用は \begin{equation} S_{\mathrm{P}}=T\int d^{2}\sigma\partial_{+}X^{\mu}\partial_{-}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}\label{eq:msd:2.45} \end{equation} と変形できる。

運動方程式を得るにはPolyakov作用を変分して \begin{equation} \delta S_{\mathrm{P}}=T\int d^{2}\sigma\partial_{+}(\delta X^{\mu})\partial_{-}X^{\nu}\eta_{\mu\nu}+ T\int d^{2}\sigma\partial_{+}X^{\mu}\partial_{-}(\delta X^{\nu})\eta_{\mu\nu}\nonumber \end{equation} となる。ここで,部分積分をして,Neumann条件によって表面項は$0$になると仮定すると \begin{equation} \delta S_{\mathrm{P}}=-T\int d^{2}\sigma(\delta X^{\mu})\partial_{+}\partial_{-}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} -T\int d^{2}\sigma\partial_{-}\partial_{+}X^{\mu}(\delta X^{\nu})\eta_{\mu\nu}\nonumber \end{equation} 任意の$\delta X^{\mu}$に対してこれが$0$になっていないといけないので, \begin{equation} \partial_{+}\partial_{-}X^{\mu}=0\label{eq:msd:2.46} \end{equation} を得る。これが,光円錐座標系における相対論的な弦の波動方程式である。

波動方程式の解

古典物理学で習った通り,波動方程式の解は一般に \begin{equation} f(t,x)=f_{L}(x-vt)+f_{R}(x+vt)\nonumber \end{equation} である。これを$(\ref{eq:msd:2.46})$に適用すると,左へ行く解と右へ行く解の重ねあわせとなる。すなわち, \begin{equation} X^{\mu}(\tau,\sigma)=X_{L}^{\mu}(\tau+\sigma)+X_{R}^{\mu}(\tau-\sigma)\label{eq:msd:2.47} \end{equation} である。これをフーリエ級数展開すると \begin{eqnarray} X_{L}^{\mu}(\tau,\sigma)&=&\frac{x^{\mu}}{2}+\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}(\tau+\sigma)+i\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0} \frac{\alpha_{k}^{\mu}}{k}e^{-ik(\tau+\sigma)}\label{eq:msd:2.48}\\ X_{R}^{\mu}(\tau,\sigma)&=&\frac{x^{\mu}}{2}+\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}(\tau-\sigma)+i\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0} \frac{\bar{\alpha}_{k}^{\mu}}{k}e^{-ik(\tau-\sigma)}\label{eq:msd:2.49} \end{eqnarray} を得る。

ここで,新しいパラメータを導入した。すなわち,$\ell_{s}$である。これは弦の特徴的な長さで \begin{align} T&=\frac{1}{2\pi\alpha^{\prime}}&\frac{1}{2}\ell_{s}^{2}&=\alpha^{\prime}\label{eq:msd:2.50} \end{align} という関係にある。$\alpha^{\prime}$をReggeの傾きパラメータという。また,$p^{\mu},\bar{p}^{\mu}$はフーリエ級数の$0$モードに対応しており, \begin{align} \alpha_{0}^{\mu}&=\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}p^{\mu}&\bar{\alpha}_{0}^{\mu}&=\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\bar{p}^{\mu}\label{eq:msd:2.51} \end{align} である。これは物理的に何を意味しているだろうか? その答えは弦は時空を$1$つの単位で移動しているということである。そして,フーリエモード$\alpha_{k}^{\mu}$ で振動しているのである。

覚えておかなければならないことは,我々はいまだ,古典物理学の世界にいるということである。だから,波動方程式の解は実関数でなければならない。すなわち, $X^{\mu},X_{L}^{\mu},X_{R}^{\mu}$は関数でなければならない。このことは$x^{\mu},p^{\mu}$は実関数であるということを意味している。 また,負の振動数のフーリエ係数については \begin{align} \alpha_{-k}^{\mu}&=\left(\alpha_{k}^{\mu}\right)^{\ast}&\bar{\alpha}_{-k}^{\mu}&=\left(\bar{\alpha}_{k}^{\mu}\right)^{\ast}\label{eq:msd:2.52} \end{align} である。$\ast$は複素共役を表している。次の節では,異なる境界条件を課した時の解を求めよう。

自由端の開いた弦

開いた弦の自由端境界条件はNeumann条件で, \begin{equation} \frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}(\tau,0)=\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}(\tau,\pi)=0\nonumber \end{equation} である。これを$(\ref{eq:msd:2.48}),(\ref{eq:msd:2.49})$をみると \begin{eqnarray} \frac{\partial X_{L}^{\mu}}{\partial\sigma}=\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik(\tau+\sigma)}\nonumber\\ \frac{\partial X_{R}^{\mu}}{\partial\sigma}=\frac{\ell_{s}^{2}}{2}\bar{p}^{\mu}+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\bar{\alpha}_{k}^{\mu}e^{-ik(\tau+\sigma)}\nonumber \end{eqnarray} 両辺を足して$\sigma=0$とおくと \begin{eqnarray} \frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma}&=&0\nonumber\\ \Rightarrow 0&=&\frac{\ell_{s}^{2}}{2}(p^{\mu}-\bar{p}^{\mu})+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}(\alpha_{k}^{\mu}-\bar{\alpha}_{k}^{\mu})e^{-ik\tau}\nonumber \end{eqnarray} を得る。自由端境界条件から \begin{eqnarray} p^{\mu}&=&\bar{p}^{\mu}\quad(弦は自分に巻き付くことはない)\nonumber\\ \alpha_{k}^{\mu}&=&\bar{\alpha}_{k}^{\mu}\quad (左波,右波ともに同じモードで動く)\nonumber \end{eqnarray}

物理的には,自由端の開いた弦は停留波であるということである。さらに,$\sigma=\pi$のときの条件を考えると \begin{eqnarray} 0&=&\left.\frac{\partial X_{L}^{\mu}}{\partial\sigma}\right|_{\sigma=\pi}+\left.\frac{\partial X_{R}^{\mu}}{\partial\sigma}\right|_{\sigma=\pi}\nonumber\\ &=&\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik(\tau+\pi)} -\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}-\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik(\tau-\pi)}\nonumber\\ &=& \frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik\tau}\left(\frac{e^{-ik\pi}-e^{ik\pi}}{2i}\right)(2i)\nonumber\\ &=&i\sqrt{2}\ell_{2}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik\tau}\sin(k\pi)\nonumber \end{eqnarray} である。これが成り立つのは$\sin(k\pi)=0$のときのみである。これは$k$が整数でなければならない。よって,$k=n$とかくと \begin{equation} X^{\mu}=x^{\mu}+\ell_{s}^{2}p^{\mu}\tau+i\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{n\neq 0}\frac{\alpha_{n}^{\mu}}{n}e^{-in\tau}\cos(n\sigma)\label{eq:msd:2.53} \end{equation} となる。

閉じた弦の運動方程式の解

閉じた弦では周期的境界条件 \begin{equation} X^{\mu}(\tau,\sigma)=X^{\mu}(\tau,\sigma+2\pi)\label{eq:msd:2.54} \end{equation} を課す。そうすると \begin{eqnarray} X_{L}^{\mu}(\tau,\sigma)&=&\frac{x^{\mu}}{2}+\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}(\tau+\sigma)+i\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{n\neq 0}\frac{\alpha_{n}^{\mu}}{n}e^{-in(\tau+\sigma)}\label{eq:msd:2.55}\\ X_{R}^{\mu}(\tau,\sigma)&=&\frac{x^{\mu}}{2}+\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}(\tau-\sigma)+i\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{n\neq 0}\frac{\bar{\alpha}_{n}^{\mu}}{n}e^{-in(\tau-\sigma)}\label{eq:msd:2.56} \end{eqnarray} となる。ここで,$n$は整数である。そして,周期的境界条件から \begin{equation} p^{\mu}=\bar{p}^{\mu}\label{eq:msd:2.57} \end{equation} である。

固定端条件における開いた弦

固定端の境界条件(Dirichlet条件)は \begin{equation} \left.\dot{X}^{\mu}\right|_{\sigma=0}=0\label{eq:msd:2.60} \end{equation} である。$(\ref{eq:msd:2.48}),(\ref{eq:msd:2.49})$は \begin{eqnarray} \dot{X}_{L}^{\mu}(\tau,\sigma=0)&=&\frac{\ell_{s}^{2}}{2}p^{\mu}+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\alpha_{k}^{\mu}e^{-ik\tau}\label{eq:msd:2.61}\\ \dot{X}_{R}^{\mu}(\tau,\sigma=0)&=&\frac{\ell_{s}^{2}}{2}\bar{p}^{\mu}+\frac{\ell_{s}}{\sqrt{2}}\sum_{k\neq 0}\bar{\alpha}_{k}^{\mu}e^{-ik\tau}\label{eq:msd:2.62} \end{eqnarray} である。これに$(\ref{eq:msd:2.60})$を課すと \begin{equation} p^{\mu}+\bar{p}^{\mu}=0\rightarrow\bar{p}^{\mu}=-p^{\mu}\label{eq:msd:2.63} \end{equation} と \begin{equation} \alpha_{k}^{\mu}+\bar{\alpha}_{k}^{\mu}=0\label{eq:msd:2.64} \end{equation}

Poisson括弧

Poisson括弧を計算すると \begin{equation} \{X^{\mu}(\tau,\sigma),\dot{X}^{\nu}(\tau,\sigma^{2})\}=\frac{1}{T}\delta(\sigma-\sigma^{\prime})\eta^{\mu\nu}\label{eq:msd:2.67} \end{equation} を得る。運動量では \begin{equation} \{P^{\mu}(\tau,\sigma),X^{\nu}(\tau,\sigma^{\prime})\}=\delta(\sigma-\sigma^{\prime})\eta^{\mu\nu}\label{eq:msd:2.68} \end{equation} となる。さらにFourierモードでは \begin{equation} \{\alpha_{m}^{\mu},\alpha_{n}^{\nu}\}=-im\delta(m+n=\sigma)\eta^{\mu\nu}\label{eq:msd:2.69} \end{equation} という結果を得る。