正多面体 オイラーの多面体定理
数学的才能のある小学5年生の関口ハジメが，老数学者・内田豊のもとで成長していくという話です．この中に「正多面体には正4面体，正6面体（立方体），正8面体，正12面体，正20面体の5つしかない」ことの証明がありました．それを引用しますが，分かり易くするために少し加筆します．
多面体の各面を仮に正N角形とし
1個の頂点にM個の面（M本の辺）が集まるとして
正の整数の組 (M, N) が何組あるか考えればいい1つの辺は2面に共有されるので（①式でNFを2で割る理由）
正N角形の（N個の辺をもつ）面がF個ある多面体の辺の数Eはこう表せるE=NF/2 ……①また1つの辺は2つの頂点を結ぶので（②式でMVを2で割る理由）
V個の頂点にM個の面つまりM本の辺が集まるので 多面体の辺の数Eはこう表せるE=MV/2 ……②
①よりF=2E/N， ②よりV=2E/M
その2つをオイラーの多面体定理に代入して
V-E+F=2
2E/M-E+2E/N=2
E(2N-MN+2M)=2MN
>0
∴2N-NM+2M>0
MN-2M-2N+4<4
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このNM不等式を満たす正の整数の組 {N, M} を求めると……，正多面体は5種類しかないことが分かる．
（以上 第4巻P84～85）
MNとNMが積のように書かれていますが，｢2数の組｣という意味で述べられています．表現が少し不適切ですね．また始めにMNと書いて，後でNMに変わっていますが，組なので間違いではありません．ただ「NMを満たす整数」という言い方はおかしいので，加筆ではなく訂正をしておきました．また，オイラーの多面体定理を証明なしでいきなり使っているのが気になります．
実際，この不等式を満たす正の整数 {N, M} の組は，以下の{3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 3}, {5, 3}しかありません．
因みに，この正の整数の組{N, M}をシュレーフリ記号（Schläfli symbol）といい，2次元の正多角形や3次元の正多面体を一般化したn次元正多胞体（regular polytope）を分類をするもので，例えば次のように表されます．
[2次元] 正3角形は{3}，正4角形（正方形）は{4}[3次元] 正4面体は {3, 3}，正6面体（立方体）は{4, 3}[4次元] 正8胞体（3次元超立方体）は{4, 3, 3}
この記号の中の，最後の数のひとつ前までの数はすべてまとめて｢1次元低い図形｣を表し，最後の数は｢3次元低い図形に集まる1次元低い図形の数｣を表します．具体的には次のような意味になります．
[3次元] 正6面体（立方体）{4, 3} は {正4角形{4}が，ひとつの頂点に3つ集まる}という意味[4次元] 正8胞体（3次元超立方体）{4, 3, 3}={{4, 3}, 3} は {正6面体{4, 3}が，ひとつの辺に3つ集まる}という意味
さて，上の証明の次のページに「こういう考え方もできるよね」と言って，「頂点に集まる3個以上の正多角形の内角の和が360°未満になるのは，正三角形3個または4個または5個，正方形3個，正5角形3個の場合しかない」ことを図解入りで説明しています．この内容は「ユークリッドの原論」第13巻命題18の "Remark（注意）" で述べられています．
この考え方から，上の不等式をオイラーの多面体定理なしで導くことができます．正$p$角形の内角の和は$180(p-2)$なので，内角の一つは$$\frac{180(p-2)}{p}=180-\frac{360}{p}$$となり，これが$q$個集まって360°未満になるためには，
\begin{eqnarray}(180-\frac{360}{p})q&<&360\\(1-\frac{2}{p})q&<&2\\ (p-2)q&<&2p\\ pq-2p-2q&<&0\\ pq-2p-2q+4&<&4\\ (p-2)(q-2)&<&4\end{eqnarray}
(mathandmultimedia.com)
あとは上の表の通りです．冒頭の証明よりこの証明の方が分かり易いのではないでしょうか．
[Reference]
正多面体クラブ
Euclid's Elements Book XIII Proposition 18
Platonic Solids: Why only five of them?
http://mathandmultimedia.com/2011/05/28/platonic-solids/#more-9370
http://mathandmultimedia.com/2011/05/28/platonic-solids/#more-9370
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