Proof by Contradiction

｢$x^2$が偶数ならば$x$は偶数である」とか「兵庫県民は神戸市民である」など，正しい（真）か 正しいとは限らない（偽）かがはっきり判断できることを述べたものを proposition（命題）といい，それを証明するのに direct proof（直接証明）が難しい場合は indirect proof（間接証明）を使います．その代表的なものに，対偶による証明と背理法があります．

Hypothetical proposition（仮言命題）｢PならばQである」の contrapositive（対偶）｢QでないならPでない」を示すこと，すなわち対偶による証明は proof by contrapositive といいます．元の命題とその対偶の真偽が一致するのでこの方法が使えるわけですが，その理由は高校数学の教科書に必ず載っていますので見てみてください． 

一方，categorical proposition（定言命題）｢AはQである」の結論を否定すると矛盾が起こることを示す背理法は proof by contradiction といいます．この contradiction は矛盾という意味なので，背理法は直訳すると ｢矛盾による証明｣ ということになります．背理とは ｢道理に背く」ことなので，矛盾と同じような意味になりますが，よくある日本語の証明の中では「道理に背く」とはいわずに「矛盾する」という言い方をするので，これは「矛盾による証明」と訳した方が良かったのではないかと思います．

同様に訳し方がおかしいと思うものに，rational number（有理数），irrational number（無理数）があります．rational は合理的，irrational は非合理的という意味なので，「じゃあ無理数は非合理的なんかい!」と文句をいいたくなります．もともと ratio が比という意味なので，整数の比で表せる「有比数」または「可比数」と，そうでない「無比数」または「不可比数」にした方が良かったと思います．

さて， 背理法といえば，①｢$\sqrt{2}$は無理数である」ことの証明が有名で，どの高校数学の教科書にも載っています．他にも ②｢素数は無限に存在する」や ③｢円の接線は接点を通る半径に垂直である」という命題が有名です．

②は日本の中高の教科書には登場しません．Euclid's Elements（ユークリッドの原論）Book Ⅸ の Proposition 20 に少しわかりにくい証明が載っていますが，もっと分かり易い証明がネット上で簡単に見つかりますので探してみてください．

③は事実のみが中1の教科書から登場するのに，中高教科書のどこにもその証明がありません．あまりにも当たり前なことのように見えるからだと思われます．この証明もユークリッドの原論にありますので，詳しく見てみましょう．

Proposition 18 (Book Ⅲ) 

"If a straight line touches a circle, and a straight line is joined from the center to the point of contact, the straight line so joined will be perpendicular to the tangent."

Euclid's Elements

続いて証明があります．分かり易く意訳してみます．

円ABCの中心をFとし，点Cにおける接線を直線DEとします． 

DE⊥FCでないと仮定，すなわち結論を否定します．

すると，Cとは別にDE⊥FGとなる点Gが接線DE上にあるはずです．

その点Gが存在するなら，∠FGCの方が直角になり，∠FCGは鋭角になります．すると直角三角形FGCの斜辺はFCとなり，これは他の辺より長いはずなので

FG<FC

となるはずです（この図ではそのように見えませんが，DE⊥FGと仮定すればこうなります）．

しかし，実際はFG>FB=FC， すなわち

FG>FC

なので矛盾します.

DE⊥FCでないと仮定したことで矛盾が起こりました．

ゆえにDE⊥FCが成り立つ，すなわち円の接線は接点を通る半径に垂直であるということが，背理法によって証明されました．

[Question] (The answer follows after reference)

Prove there are no integers a and b such that 10a + 15b = 1.

(by StudySmarter)

[Reference]

Euclid's Elements   Book III   Proposition 18
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/propIII18.html

StudySmarter "Proof by Contradiction"
https://www.studysmarter.us/explanations/math/pure-maths/proof-by-contradiction/

[Answer] (Drag bellow) 

Let us assume that we could find integers a and b that satisfy such an equation. We can then divide both sides by 5 to give 2a + 3b = 1/5. If a and b are integers, and we multiply each by another integer (2 and 3 respectively, in this case), then sum them, there is no possible way that this could result in being a fraction, which is what the above condition requires. This leads us to a contradiction. Thus, there are no integers a and b such that 10a + 15b = 1.