2021/04/24

12. 自然数の2乗の和、3乗の和の公式の証明




の証明は後日示すと書いたが、だいぶ遅くなってしまった。

今回は、これらの証明を示す。

0. 復習 自然数の和の公式の証明


1. 自然数の 2 乗の和の公式の証明
 まず次の式が成り立つことを確認。


 この式を、i が 1 のときから n のときまで縦に並べてみる。


これらの式を足し合わせる。
左辺は 2 の 3 乗が打ち消し合い、順に、n の 3 乗まで打ち消しあう。
右辺は第1項が 1 から n までの2乗の和の3倍、第2項は 1 から n までの和の3倍、
第3項は 1 の和になる。したがって、次の式が得られる。


少し面倒だが、これを変形すると公式が得られる。


2. 自然数の 3 乗の和の公式の証明
 まず次の式が成り立つことを確認。


 この式を、i が 1 のときから n のときまで縦に並べてみる。


これらの式を足し合わせると、次の式が得られる。


これを変形すると公式が得られる。


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