7回 スクラッチで算数ドリルを作問 で
の証明は後日示すと書いたが、だいぶ遅くなってしまった。
今回は、これらの証明を示す。
0. 復習 自然数の和の公式の証明
1. 自然数の 2 乗の和の公式の証明
まず次の式が成り立つことを確認。
この式を、i が 1 のときから n のときまで縦に並べてみる。
これらの式を足し合わせる。
左辺は 2 の 3 乗が打ち消し合い、順に、n の 3 乗まで打ち消しあう。
右辺は第1項が 1 から n までの2乗の和の3倍、第2項は 1 から n までの和の3倍、
第3項は 1 の和になる。したがって、次の式が得られる。
少し面倒だが、これを変形すると公式が得られる。
2. 自然数の 3 乗の和の公式の証明
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