MARCHを受けるなら解いておきたい！平方根を使った数列の問題

今回は数列の問題をご紹介したいと思います。

数列というと等差数列や等比数列の基本的なパターン問題についてはどの参考書や問題集にも載っていることもあっておなじみかもしれません。

ただそうした基本のパターンにちょっとひと工夫加えた問題を見るとどうしていいかわからなくなってしまう方も多いのではないでしょうか。

今回ご紹介するのは平方根を使った数列の問題であり、もしかするとあまり見慣れないタイプかもしれません。

そうはいってもMARCHクラスの大学であればぜひ解いておきたい問題なのでこのタイプの問題を初めて見るという方やこういう問題は見たことあるけどどうやって解いていいのか忘れてしまったという方はこれを機に解き方を身に着けていきましょう。

それでは実際にどんな風に解いていくのかですがそれについてまずはこのyoutubeの動画を見ていただきたいと思います。

それではどうぞ。※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

どうだったでしょうか。平方根を使った数列の問題を解き方がわかりましたか。さらに理解を深めるために今度は $a_{1}=343$ 、 $a_{n+1}=7\sqrt{a_{n}}$

の場合の $a_{n}$ を求めてみましょう。

343が7の3乗であることがヒントです。

$log_{7}a_{n+1}=log_{7}(7\sqrt{a_{n}})$

$=log_{7}7+log_{7}\sqrt{a_{n}}$

$\displaystyle\ =1+log_{7}a_{n}^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle\ =1+\frac{1}{2}log_{7}a_{n}$ となるので

$b_{n}=log_{7}a_{n}$ とおくと

$\displaystyle\ b_{n+1}=\frac{1}{2}b_{n}+1$

となって上の動画と同じ式になります。

よって $\displaystyle\ b_{n}-2=(\frac{1}{2})^{n-1}(b_{1}-2)$

となるわけですが、今回は

$b_{1}=log_{7}343=3$ なので

$\displaystyle\ b_{n}-2=(\frac{1}{2})^{n-1}(3-2)$

$\displaystyle\ b_{n}=2+(\frac{1}{2})^{n-1}$

$\displaystyle\ a_{n}=7^{b_{n}}=7^{2+(\frac{1}{2})^{n-1}}$

となります。

このように平方根の入った数列の式というのはなかなか見慣れない形かもしれません。

どのように解いていいのかわからなくなりそうですが、そんなときには両辺の対数をとってうまくいきそうかどうか見てみる方法もあるのですね。

もちろん、ルートの入った式だからといって対数をとれば必ずうまくいくというわけではないのですが、このような解き方もあるということを知っていれば非常に役に立つこともあると思います。

今回は数列の問題において両辺の対数をとるという解き方だったわけですが、この両辺の対数をとるという方法は数列以外の問題でも使う場面は結構多かったりします。

例えば、高校で学習する範囲でいえば理系の方限定となってしまうかもしれませんが指数関数が出てきたときに対数を取った後に微分することで計算しやすい形にするといった感じです。

このようにいろいろな場面で役に立つのですね。

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