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MARCHクラスを目指すなら必見！数学の三角関数の方程式

数学

今回は三角関数の方程式について学んでいきたいと思います。

何はともあれ実際に問題を見てみましょう。

第一問目としてまずは次のyoutube動画をご覧ください。

※動画が表示されにくい場合は数秒お待ちください

どうでしたでしょうか。三角関数の方程式を実際にどのように解いていくのかおわかりいただけたでしょうか。

十分に理解できたよという方やまだいまいちピンとこないよという方がそれぞれいらっしゃるかもしれません。

いまいちピンとこないという方は動画をもう一度ご覧いただければ理解しやすくなると思います。

ぜひとも繰り返し学習していきましょう。

さて、今の動画の内容がよくわかったという方は似たような問題を解きたくなってきませんでしたか。

そんな方にぴったりな二問目として次の問題はどうでしょうか。

[問題]

$6sin^{2}\theta+5\sqrt{3}sin\theta-12=0,$

$0\leq \theta\leq\pi, \theta=?$

これは先ほどの問題よりも少し複雑ですね。それでは解答を見ていきましょう。

[解答] $6sin^{2}\theta+5\sqrt{3}sin\theta-12$

$=(2sin\theta-\sqrt{3})(3sin\theta+4\sqrt{3})$ となるが

$\sqrt{3}\gneq1.7$ なので $4\sqrt{3}\gneq6.8$ であり

また $3sin\theta\geq-3$ であることから

$3sin\theta+4\sqrt{3}\gneq0$ となるため

$2sin\theta-\sqrt{3}=0$ となる

よって $\displaystyle sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので

答えは $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$

どうでしたでしょうか。

ルートが式の中に入っていることもあり一問目に比べて難しく感じたかもしれません。

しかし考え方自体は一問目と同じなので落ち着いて見ていただければと思います。

続いても少し複雑ですがここまでと似たような問題をもう一題見てみましょう。

[問題]

$12cos^{2}\theta+26\sqrt{2}cos\theta+20=0$

$0\leq \theta\leq\pi, \theta=?$

[解答] $12cos^{2}\theta+26\sqrt{2}cos\theta+20$

$=2(6cos^{2}\theta+13\sqrt{2}\theta+10)$

$=2(2cos\theta+\sqrt{2})(3cos\theta+5\sqrt{2})$ となるが

$\sqrt{2}\gneq1.4$ なので $5\sqrt{2}\gneq7$ であり

$3cos\theta\geq-3$ なので $3cos\theta+5\sqrt{2}\gneq0$

よって $2cos\theta+\sqrt{2}=0$ となり

$\displaystyle cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので

答えは $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$

今度は今までとは違ってcosを使った方程式でしたね。

ただ解き方は今までと同じなのでここまで読んでこられた方は解答を理解できたのではないでしょうか。

さて、今回のページで学んできた三角関数を使った方程式というのは数学の学習をしているときにはよく出てくるのですが大学入試においても頻出と言えます。

それはこの方程式を解きましょうというシンプルな問題だけではなく複雑な問題を解いていく上での途中式として出てくることもよくあるのです。

そうした複雑な問題を解くときに三角関数の扱いに慣れていないとそこでストップしてしまい本来解きたかった問題の全体像が見えてこないといったことにもなりかねません。

そのため大学入試でMARCHや関関同立といったクラスの大学、あるいはそれ以上の大学を目指したいという方はぜひともこのページで学んだ三角関数の方程式について理解を深めていただければ幸いです。

そんな三角関数の方程式には今回学習した以外にも様々な形があり様々な解き方があるのですね。

なので、さらに学習を進めてもっと三角関数を得意にしていきましょう。